Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
i 2у^ = 2ж"х' +
01 к к 01 к т
27 Вариационные принципы механики
418
СОФУС ли
откуда на основании уравнений (17) получается д_ dt
2у,^ = "х> + 2у,Ъ, -
="('и + j 2Л) + 2-+it, - (т + 2 k Щ <" ¦¦
но все dfi обращаются в нуль, и мы, таким образом, находим
Tr2y>llxi=!l[u+^2yi}- рУг + 2Х' ¦fr)д'
чем и оправдывается наше предположение.
dxie
В выражении Еук dxk величины хк и ук = связаны уравнениями (16).
Мы исключим зависимые величины ук и dxk, причем, конечно, должны войти
величины t и dt. Удобно мыслить уравнения разрешенными относительно q
величин, скажем х"_?+1,..., хп :
Хк = <Рк(х 1, .... 0 (k = n - q+l, ..., п).
Это дает
Э фк
Э <Рк dt
dt
(к = rt - q + 1, п)
У'' = 21й;У' + -% (k = n-q+ 1...............п).
е=1
Если подставить эти значения в выражение ^?Укйхк1 то получится:
к
(18)
(19)
= 2 [2i%-y*+d4,k
/ = 1 fc=n-з + 1 'е=1
к-1 ИЛИ
dt
2ig-*xr+*g.dt
r= 1
dt
2Укdxk = dt 2
к-1 k=n-q+1
brpk jn9^4 dt \2 dx" + dt
\Q= 1
+
n-q
+ 2 dxr
r= 1
v 4- V 89,4 fV 89,fc v -I- 89,4
Уг+г 2 ,W\A д^Уе + ~дГ
k=n-q+1
,e=i
Таким образом найдено уравнение вида
2 Ук dxk = Г, dXl +... + Г"_9 dx"_, + Y dt.
к=1
Поэтому, если величины А,- при помощи уравнений (16), (17) и (19)
определить как функции от хк, ук и t и затем ввести в нашу совместную
систему величины хъ..., хп, Ylf..., Yn-q, t в качестве переменных, то на
основании леммы 3 она примет канонический вид:
С dW С, ST. QW С,
dxu = -- dt, dYк =------------------------------- dt
(к = 1, . . п).
Ч дук к дхк
Функция W может быть, очевидно, определена в каждом отдельном случае.
Новые переменные Г, являются частными производными некоторой определенной
величины. В самом деле, если положить
I _
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
419
д = тД')* + т. i .
то
1 n-q -2
к-I k=n-q+1 1
откуда имеем для г = 1,..п - q :
д Q
дщ д t
дуг
= Уг+ 2
так что
?,=
k=n~'j+ I
dQ
д<Р (V? дщ , дщ
дхг 2 ' дхв Ув + г=1
dt
7п.
Э Q
9Ух ' dyn-q
11. Если поставить себе целью определить величины хъ. ции времени таким
образом, чтобы интеграл
j>(*i> xi х", х[, ..., х'п) dt,
<5 хк
., хп как функ-
где
XI =
dt
имел минимальное значение, то для этого, как известно, нужно, чтобы
удовлетворялись уравнения
<*=> ">•
(20)
Эти уравнения вместе с уравнениями
<5Хк
dt
= хк (к = 1, ..., п)
образуют 2п-членную совместную систему, которая, согласно Якоби,
принимает канонический вид, если ввести в качестве переменных величины
хк, У к
д<р
д хк
-, t (к = 1, ..п).
(21)
Чтобы просто доказать это фундаментальное предложение, образуем
производную по t от выражения ?ук dxk:
4--2**4 = + 2у"
откуда находим на основании уравнений (21) и (20)
^Ук<1хк = 2^dxk + 2-щйх'ку или ^2ykdxk = d<p--^dt, что и доказывает
требуемое.
§ 4. Решение задачи III
12. Предположим теперь, что некоторая определенная каноническая система
дРг
dXk = ~J~t6i' дРк =
¦dt
дрк ' (tm) д Хк
благодаря введению переменных у1;..., уп, qv..., qn, где Ук = Ук(* 1.
•••> хп, р1, ..., рп),
(22)
Qk=Qk(Xi, хп, pi, рп)
27*
420
СОФУС ли
принимает вид
дук = ЖМ' dqk=~'lmdt №=1, п).
Если это преобразование не является касательным преобразованием, то
положим
2 Чи dyk = 2*к dXk + 2Рк dpk = W.
Существует (лемма 1) соотношение вида
4 2 Чк dyk = (0i, 2 Чк dyk) = dQ,
откуда
4 [2 хк dxk + 2 Рк dp к} = dQ.
Пусть, с другой стороны, задано любое выражение
2x'kdxk -j- 2 Р'к dpk (23)
к к
с нормальной n-членной формой, производная которого по t является полным
дифференциалом :
412х'к'dxk + 2-P'bdpkl = (¦Fx, 2 х'ь dxk + 2 Р'к dpk) = dQ. (24)
'l * к ) l к к
Если теперь привести выражение 2xkdxk + 2P'kdpk к его нормальной форме
* к
2 х'к dxk + 2 Р'к dpk = 4i dy[ + ... + Чп dy'n + dd,
к к
то система (22) посредством введения в качестве переменных величин ук, qk
(которые мы предполагаем независимыми) снова принимает канонический вид :
ёУ'к = Т^%' 8q'k = ~^8t {k=h...,n).
Если желательно найти наиболее общее преобразование, которое сохраняет
системе (22) ее канонический вид, то надо искать самое общее выражение
(23), удовлетворяющее соотношению вида (24), а затем привести это
выражение наиболее общим способом к его нормальному виду. Этим
непосредственно получается искомое преобразование.
Будем теперь искать 2/7-членную каноническую группу, содержащую Р\:
Рь • • • , Рп, G\, • • •, Gn,
и затем введем эти величины в качестве переменных. Речь идет о том, чтобы
найти наиболее общее выражение
2 Рк dFk + 2 Мк dGk,
к к
(25)
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
421
которое удовлетворяет соотношению вида
{Fi,2UdFk + 2MkdGk) = dQ.
к
Но это уравнение принимает вид
откуда получаем
dLk 9Q дМк dQ ,, . v
~9GT"" 9Fk ' 9Gx "9Gk
или путем интегрирования по переменной Gx
Lk=j-^dGlt Мк = J-dGx (к=\, ..., п). (26)
В этих выражениях для величин Lk и Мк роль постоянных интеграции играют
произвольные функции переменных F1,...,Fn, G2,..., Gn, тогда как через Q
обозначена произвольная функция всех переменных Fk ц Gk. Если затем в
