Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
первой степени от </,. Этот шаг имеет то значение, что после него
оказывается возможным, зная полностью зависимость энергии от координат и
скоростей, найти кинетический потенциал и вместе с тем определить все
движение системы в предположении, что имеет место принцип наименьшего
действия. Члены, линейные относительно q, ° соответствующие "скрытым
движениям", большей частью определяются без затруднений.
В § 4 рассматриваются соотношения взаимности между силами, которыми
система действует на окружающие тела, с одной стороны, и ее ускорениями и
скоростями - с другой. Среди этих соотношений много в высшей степени
интересных зависимостей между физическими явлениями, например:
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
435
связь между электромагнитными и электродинамическими законами Ампера, с
одной стороны, и законом индукции - с другой ; ряд термодинамических
законов, например связь между увеличением давления, вызванным повышением
температуры, в замкнутом объеме и повышением температуры в результате
сжатия ; аналогичные факты при термоэлектрических и электрохимических
процессах. Наконец, можно доказать, что принцип наименьшего действия
пригоден всякий раз, когда имеют место перечисленные в § 4 соотношения
взаимности между силами. Но это доказательство я откладываю до более
позднего сообщения.
В § 5 коротко повторяются теоремы Гамильтона в общей форме, а в § б
даются вытекающие отсюда законы взаимности для изменений в прямом и
обратном движениях, возникающих в системе в результате небольших толчков.
Здесь мы встречаемся с соотношениями взаимности в области звука и света,
которые я доказал, но только для покоящихся систем, в своих более ранних
работах.
Наконец, в § 7 вместо скоростей вводятся количества движения, что дает
новую форму вариационной задачи, а также, наряду с уже известными
измененными представлениями сил, дает другой закон взаимности прямого и
обратного движений.
Я предполагаю, что мгновенное состояние рассматриваемой системы тел
полностью определяется достаточным числом независимых координат р(;
скорости изменений координат я обозначаю через
Далее, я обозначаю через Рг силу, которую движущаяся система тел
развивает при изменении координаты р" так что - Р, есть внешняя сила,
которая должна действовать на систему в направлении координаты р, с тем,
чтобы рассматриваемое движение могло происходить именно так, как это
предположено.
Эти введенные Лагранжем силы Р, вообще пред9тавляют собой совокупность
составляющих сил, которые сами могут действовать на различные части
системы и тем самым определены по своей величине и составу, так что Ptdpi
выражает работу, которую сила Р, отдает наружу, когда координата р{
переходит в р,- -f dp,; в то же время Р, не совершает работы, когда
координата р, остается неизменной, а остальные координаты pf испытывают
любые изменения.
В дальнейшем мы предполагаем, что величины Р, заданы для промежутка
времени от t = /0 до t = tx в функции времени, но независимо от
координат.
Пусть Н - функция координат и .скоростей, от которой мы первоначально
требуем лишь, чтобы она во всех положениях, соответствующих данному
промежутку времени, имела конечные первые и вторые частные производные по
р, и qt. Теперь мы образуем интеграл
в котором р, варьируем так, чтобы их вариации 6р, для / = /0 и t = tx
были равны нулю, а в промежуточные моменты времени были любыми дифферен-
§ 1. Формулировка принципа
(2)
и
436
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
цируемыми функциями времени. Тогда согласно известным методам
вариационного исчисления равенство
будет иметь место, если в течение всего движения справедливо равенство
Это, как известно, дифференциальные уравнения движения системы в форме,
которую им придал Лагранж.
Исключение координат. В первоначальных применениях принципа к движениям
свободной системы материальных точек функция Н, как я уже упомянул во
введении, имела форму
где величина F должна быть функцией только от ph L - однородной функцией
второй степени от qh причем коэффициенты последней функции зависят от р(.
Для свободной системы число координат р, втрое больше числа имеющихся
материальных точек.
Однако во многих случаях число координат может уменьшаться без изменения
формы выражений, данных уравнениями (2), (3) и (4).
До сих пор из этих случаев лучше всего изучен такой, когда свобода
движения системы ограничена так называемыми жесткими связями, которые
математически могут быть выражены уравнениями между координатами. При
этом функция Н по-прежнему составляется из F и L и не меняются свойства
этих двух последних функций, но число переменных координат может быть
значительно уменьшено.
Другой заслуживающий внимания случай уменьшения числа координат
получается, когда некоторые из координат, которые мы будем отмечать
индексом /, входят в выражение для Н только под знаком производной по
времени, и соответствующие силы длительно равны нулю. При этих
обстоятельствах уравнения (4), определяющие значения Ру, сводятся к
