Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
SW _ WjW _8F__ ЭУК 9F 'j _ .д
dt ; I Эх; Эр; Эр; Эх; J
Отсюда, если и здесь ввести новые переменные, получается
X? ( ЭУК . dW АП
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
409=
Если мы, в частности, потребуем, чтобы rjk и хк имели вид
эф э ф ,, л ч
Vk~~dqk' Хк~~~~дп ( П)'
какова бы ни была функция F, то по лемме 2, если рассматривать W как
функцию переменных ух,--., уп, qx,qn, эта функция должна иметь вид,
W - А ? qi dyt + dV
i
и, таким образом,
^pkdxk = А^ qt dyt + dV,
к i
что сводится к тому, что наше преобразование должно быть касательным
преобразованием между х^..., хп, рх,..., рп и у,..., уп, qx,-.., qn• Итак
г Теорема 1. Если данное преобразование между хх,..., хп, рх,..., рп и Ун
• ¦ ¦. Уп, q-н • • •, qn обладает тем свойством, что оно переводит любуш
совместную систему вида
(*=ь.... я)
в подобную же систему между ух,..., уп, qv..., qn, пго это - касательное
преобразование и, стало быть, имеет место соотношение вида
2Pkdxk = A^qkdyk + dV.
k
4. Я ставлю теперь вопрос о наиболее общем касательном преобразовании
между х1У..., хп, рх,..., рп и у1(..., уп, qx,..., qn, которое переводит
заданную каноническую систему
4Л=-^-* .(*=).......л)
в другую определенную систему
= <*='.......")•
Другими словами, я ищу наиболее общее касательное преобразование, которое
переводит выражение (Хъ /) в выражение (7^ /). Согласно моей теории
касательных преобразований это сводится к тому, чтобы искать наиболее
общее касательное преобразование, переводящее Хх в Тх. Оно будет найдено,
если составить в самой общей форме две канонические группы :
Хх, Хп, РХ, Рп,
7Х, Qx, ..., Qn,
соответственно в переменных х, р и у, q, так чтобы в эти
группы входили
Хх и Тх. Если затем положить
Xk = Yk, Pk = Qk,
то эти уравнения определят наиболее общее преобразование требуемого типа.
В частности, можно потребовать, чтобы Хх и Тх были одинаковыми функциями
соответственно переменных хх,..., хп, рх,..., р" и переменных
410
СОФУС ли
Ун • • • > Уп, Qv • • ¦, Qn- Решение этой частной задачи вытекает
непосредственно из только что сказанного.
5. Если одновременно дано несколько уравнений вида
(Flt F) = 0, ..., (Fr, F) = 0, (xlf ...,xn,px, ...,pn), (9)
то можно искать наиболее общее касательное преобразование, которое
переводит их соответственно в
(Ф1( F)=0, (Фг, F) = 0, (yi, уп, qx, ... , qn)-
Это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное
преобразование, переводящее функции Fv.Fr соответственно в Фх,..., Фг. В
своей теории инвариантов касательных преобразований- (Math. Ann., т.
VIII, стр. 272)*) я показал, как можно при помощи выполнимых операций
решить, возможна ли данная задача этого типа. Если да, то искомое
преобразование находится посредством интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений.
В частности, если уравнения (9) образуют полную систему, то можно искать
наиболее общее касательное преобразование, которое переводит эту систему
в другую полную систему
(Ф1; F) = О, (Ф2, F) = 0, ...
между переменными yv..., уп, qv..., qn. Согласно доказанному мною (Math.
Ann., т. VIII, стр. 251 и далее)**) Fv..Fr и Фъ Ф2>... должны составлять
группы из одного и того же числа членов и с одним и тем же числом
различных функций. Если это требование выполнено, то нужно привести обе
эти группы к их каноническим видам:
Aj, ..., Xq , Pi, .. . j Pr-q ,
Ye, Qlt ... , Qr-e и искать тогда в самой общей форме канонические
системы величин :
, ..., Хп, Р\, ...) Рп,
Ylt ..., Yn, Qlt ..., Qn.
Тогда уравнения
Xk = Yk, Рк = Qk определяют наиболее общую систему требуемого типа.
§ 2. Канонические системы, характеристическая функция которых имеет вид р
+ f(xb ..., хп, ръ ..., рп)
Я обращаюсь теперь к случаю, важному с точки зрения приложений к механике
и вариационному исчислению, а именно к случаю, когда характеристическая
функция имеет вид
Р f (^1 , • • • I %п , Pl' • • • ' Рп) •
*)Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig-Oslo, 1929, т. IV, § 16, №
36.
**) Там же, п. 10-13, № 23-29.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
411
В соответствующей совместной системе
дх _ дхк _ <5р_____ <5р* _ ?
1
дрк Эх 3Хк
нет надобности брать член
др __ 8 рк
3/ э/
Эх Эх*
так как остальные члены вовсе не содержат р. Между прочим, следует
заметить, что теперь вспомогательная величина t равна х.
6. Мы ищем наиболее общую систему уравнений
дхк = ?к(х, х 1, ..., хп, рг, ..., рп) бх, бРк Рк (X, ^1 > • • • j хп '
Pl > • ¦ • > Рп) ^Х (ft ~ 1" • ¦ ¦ j Л),
в силу которой выражение
ух (Pl йхг+ ... +рп йхп)
получает вид
йФ + ш (х, хх, ..., xn, ри рп) dx.
Это требование выражается уравнением
к=п к=п
'У! Рк d?k + ^ Vk dxk = йФ + (о dx,
откуда
9& , ЭФ / ч ч
Щ Рк "Эх7 Vr = ~ЭхГ (Г=Ь •••"").
V- " cif* ЭФ .
2 ^-эГ= to- + w-
Отсюда получается таким же путем, как и раньше
дщ dpi 3рк 3?/ Э?*______________ 3{/ Эр* Эсо Э?* Эсо
ЭХ( - Эх* ' Эр/ - Эх* ' Эpi ~ дрк ' Эх - Эх* ' Эх Эр*
Следовательно, имеется такая функция U переменных хъ.хп, ръ..., рп что
