Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
следующим :
Можно воспользоваться этими уравнениями, линейными относительно <7, (а
также и qj), для того чтобы выразить qs через остальные скорости и через
ри а дальше исключить qj из Н. Полученное путем такого исключения
выражение для Н обозначим через ф. Тогда имеем
дФ = О
(3)
(4)
Н - F - L
(5)
или
(6)
_Э§ ЭН W эН Эqj )
bPi dpi j \ Щ dpi J '
откуда, принимая во внимание уравнения (б), получаем
Если положить
(7)
то мы находим
дН __ ЬН' dpi dpi '
а также
э н =
dqt ~~ dqt '
? + *'(?)• <8>
В этом случае, стало быть, в уравнениях (8) место первоначальной функции
Н полностью занимает функция Н' которая свободна от и pJy однако,
содержит члены, линейные относительно qh которые вытекают из выражений
для qj.
Примером такого рода случаев могло бы служить вращение волчка вокруг его
оси симметрии, когда может меняться направление этой оси, но не угловая
скорость вращения вокруг оси.
Далее, в качестве примера можно назвать движение системы, отнесенное к
вращающейся системе прямоугольных координат, например к системе,
связанной с земным шаром.
В соответствии с этой аналогией с механикой весомых тел мы будем
рассматривать также и другие случаи физических процессов, в которых
функция Н содержит члены, линейные относительно скоростей, как случаи со
скрытым движением, хотя в настоящее время сюда относятся случаи, где
существование такого скрытого движения не может быть с несомненностью
доказано, как, например, при взаимодействии между магнитами и
электрическими токами. Для магнитов, как известно, уже Ампер предположил
существование скрытого движения; оно обнаруживает свое влияние и при
электромагнитном вращении плоскости поляризации света, как это отмечает
У. Томсон, хотя здесь и нельзя обнаружить участия электрических токов.
От случаев, в которых Н содержит скорости только в членах второй степени,
упомянутые случаи существенно отличаются тем, что в них движение в одних
и тех же условиях не может идти в обратном направлении, если только
одновременно не будут обращены и скрытые движения.
Иногда, по крайней мере для некоторых классов движений, исключение
скоростей может привести к еще более сложным формам функции Н; подобные
случаи я разобрал в моей первой статье о моноциклических движениях*).
Здесь мы можем условия исключения взять еще несколько более общими.
Предположим, что имеется некоторая группа координат рк таких, что
соответствующие qk входят в выражение живой силы лишь в форме
произведений с другими скоростями той же группы, но не встречаются
умноженными на скорости qjy не принадлежащие к упомянутой группе, так что
все частные производные вида
Э2Н dqk dqj
равны нулю; предположим, кроме того, что все силы Рк всегда остаются
равными нулю. При этих обстоятельствах оказываются возможными такие
движения системы, при которых рк длительно сохраняют постоянные значения,
так что qk остаются равными нулю.
*) Borchardt-Crelle Journ. f. Math., т. 97, стр. 120-122. См. также Н. Н
е 1 m h о 11 z, Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, 1895, т. 3, стр.
129-132.
438
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
Упрощение уравнений движения для систем этого класса состоит в том,
9 М
что если все дк равны нулю, то и все д- также равны нулю. Таким образом,
из уравнения (4) получается
<9> <10>
Если уравнений (9), число которых равно числу координат рк, будет
достаточно для того, чтобы выразить эти величины в функции pj и q]t то
можно при помощи полученных значений исключить рк из Н, причем Н
обращается в еще более сложную функцию qj; эту функцию мы обозначим через
?>. Тогда по правилам дифференциального исчисления имеем :
8ф _ №_ -у (ЪН_ 9рк \
ЪР1 ~ dPJ к { Э Рк ' dPJ ' '
Э§ 9Н , ( ЭН дрк
0?у ~~~
отсюда в силу уравнений (9)
I дН 9 рк У + i? I дРк dpj )'
9Н __ д$у дН_ _ _Э|^
Щ ~ Щ и ~ 0?у '
Уравнения (10) сводятся, стало быть, к таким:
(И)
d (д$
др,
+ ж(-Ц)' <12>
в эти уравнения входят только р, и qh и функция § вообще не равна больше
сумме функции координат и однородной функции второй степени относительно
скоростей.
Однако, если первоначальная функция Н была именно такой, что на движение
системы не влияли скрытые движения, то уравнения (9) - уравнения второй
степени относительно qy поэтому значения рк могут оставаться неизменными
(даже если они многозначны), когда все q, меняют одновременно знак,
откуда следует, что и в этом случае движение системы в целом обратимо.
В механике весомых масс мы можем называть задачи, в которых функция Н
содержит скорости q, в первой степени или в степени выше второй,
неполными задачами, поскольку часть возможных движений здесь исключена и
часть координат, необходимых для определения положения системы, не входит
в функцию Н, а некоторые силы предполагаются постоянно равными нулю, так
что уже не могут быть заданы любым образом.
Функциональный определитель импульсов. Ради краткости будем обозна-
ЪЫ "
чать величины , встречающиеся в предыдущих рассуждениях, так:
OQi
дН , 1 о \
s' = "9i7 <13)
