Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразуется с помощью матрицы хах-1 = (а1?)-1.
п. 3] § 4. спиноры и спинорные прЕдставления собственной группы 237
Очевидно, что в пространстве спиноров (а0, ах) действует представление
собственной группы, эквивалентное представлению в пространстве спиноров
(а0, а1) с верхними индексами.
Аналогично этому можно опустить индекс у пунктирного спинора:
";= 2 d1"7)
М. i
Величина (а-й, aj) называется пунктирным спинором ранга 1 с нижним
индексом.
При собственном преобразовании Лоренца ga спинор (a-, flj) преобразуется
с помощью матрицы iaz~1 = (а*)-1. Таким образом, в пространстве спиноров
(a-, a j) действует представление собственной группы ga -> dr (а*)-1,
эквивалентное представлению ga ->¦ -+- а.
Заметим, что, как следует из результатов предыдущего пункта, в
пространстве спиноров (a-, aj) базис gO-(1,0), ех =(0, 1), в котором
записаны все матрицы (а*)-1, совпадает с каноническим базисом
представления ga -> (а*)-1.
3. Спиноры высших рангов. Рассмотрим 2&-мерное комплексное
пространство R3&, каждая точка которого определяется набором 2& чисел
а*1'*2(ах = 0, 1). Зададим в R2* представление ga -"• Та,
действующее по формуле
e'1'4"'4 = Se ' а - ...а , (12)
^ alal "2 "2
суммирование идет по всем наборам (ах ... aft); a = |ae'e. |-матрица,
соответствующая преобразованию ga.
Пусть в каждой ортогональной системе координат (х0, хх, х2, х3) задан
определенный с точностью до знака набор 2* комплексных чисел а*' "А(сц =
0, 1), который при переходе от одной системы к другой с помощью
собственного преобразования Лоренца g = ga преобразуется по формулам
(12). Такой набор чисел называется непунктирным спинором ранга k
относительно собственной группы Лоренца.
Представление (12) называется непунктирным спинорным представлением ранга
k.
Заметим, что, поскольку в формуле (12) матрица ||<Va|| действует на
каждый индекс независимо, представление (12) является произведением k
представлений вида (1), т. е. произведением k непунктирных спинорных
представлений ранга 1 (равно как и само пространство является
произведением k двумерных пространств).
Аналогично предыдущему мы определим пунктирное спинорное представление,
действующее в 2"-мерном пространстве величин
238
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
аа"-"*п по формуле
¦¦'У, а ¦ * • а ¦ > ¦ ... а а"' ¦¦¦ "п, (13)
^ <4*1 "2*2 "н"в 4
матрица a - ia--- I! - по-прежнему матрица, соответствующая пре-
,| а i а t i|
образованию Лоренца g = ga.
Пусть в каждой ортогональной системе координат (х0, xv х2, х3) задан
определенный с точностью до знака набор ^-комплексных чисел йал'" "я (а*
= 0, 1), который при переходе от одной системы к другой с помощью
собственного преобразования Лоренца g - ga преобразуется по формулам
(13). Такой набор чисел называется пунктирным спинором ранга п
относительно собственной группы Лоренца. Представление, задаваемое
формулой (13), называется пунктирным спинорным представлением ранга п.
Аналогично непунктирному оно является, очевидно, произведением п
пунктирных спинорных представлений ранга 1.
Рассмотрим, наконец, самый общий случай.
В 2S+"-мерном пространстве величин а"" зададим представление собственной
группы с помощью формулы
= 2я, ... а ,а h •• • .. . а а*'Ч (14)
*1*1 "4 й_ "1*1 "n* n v 7
Пусть в каждой орт.огональной системе координат (х0, xv х2, х3) задан
определенный с точностью до знака набор 2к+п-ком-
плексных чисел а*1 " который при переходе от одной
системы к другой с помощью собственного преобразования Лоренца g = ga
преобразуется по формулам (14). Такой набор чисел называется спинором с k
непунктирными и п пунктирными индексами, или, короче, спинором ранга (k,
п) относительно собственной группы Лоренца. Представление (14) называется
спинорным представлением ранга (k, п) *).
Представление (14) является произведением k непунктирных и п пунктирных
спинорных представлений ранга 1. Представление (14) ранга (k, п) можно
рассматривать также и как произведение двух представлений: непунктирного
спинорного представления ранга k (т. е. представления ранга (k, 0)) и
пунктирного спинорного представления ранга п (т. е. представления ранга
(0, п)). Заметим здесь же, что в том случае, когда ga-вращение, матрица
а, как мы видели, унитарна. Таким образом, представление (12)
(непунктирное спи-
*) Спинором ранга (k, 0) является, очевидно, непунктирный спинор ранга k,
а спинором ранга (0, п) - пунктирный спинор ранга п.
П. 4] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРвДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ-2391
норное представление) для группы вращений совпадает с обычным спинорным
представлением группы вращений, рассмотренным нами в первой часта (§ 6).
Формулы (13) и (14), задающие спинорные представления собственной группы
рангов (0, п) и (k, п) в случае, когда ga-вращение (т. е. когда а -
унитарная матрица), непосредственно не переходят в формулу, определяющую
спинорное представление группы вращений (см. часть I, § 6, формула (3)).
Тем не менее представление* группы вращений, порожденное формулой (14),
