Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентно спинорному представлению ранга n-{-k этой группы *).
Представление (14) в пространстве спиноров ранга (k, ri), вообще говоря,
приводимо, т. е. в 2*+п-мерном пространстве спинорного представления (14)
существуют подпространства, инвариантные относительно этого
представления. Сейчас мы в каждом спинорном пространстве выберем одно
такое инвариантное подпространство R(k, в котором, как окажется,
представление (14) неприводимо. Кроме того, мы покажем, что
представлениями в подпространствах Rty, п) исчерпываются все неприводимые
конечномерные представления собственной группы.
4. Симметрические спиноры. Реализация всех неприводимых конечномерных
представлений собственной группы. Начнем снова с частных случаев.
I. Непунктирный спинор а*'---*к ранга (k, 0) назовем симметрическим,
если он не меняется при всевозможных перестановках индексов (at . .. ак).
Очевидно, что симметрические спиноры ранга (k, 0) образуют
подпространство в пространстве всех спиноров. Обозначим это
подпространство R^ (размерность его равна
*+1).
*) Как мы видели выше, переход от матрицы а к матрице а в группе
унитарных матриц осуществляется с помощью формулы
а - тят \ 0 -1
1 0
Так как т - унитарная матрица и det х = 1, то равенство (8") выполняется
и для операторов представления
гр __ р 'т\_71 - 1
1 a tat •
Это означает, что представления группы вращений ga~*Ta и ga-^-T^
эквивалентны. Из сказанного ясно, что если рассмотреть операторы,
отвечающие вращениям в пунктирном спинорном представлении ранга п, то мы
получим представление, эквивалентное спинорному представлению группы
вращении ранга п.
Так как спинорное представление ранга (ft, ri) есть произведение
непунктирного ранга k и пунктирного ранга п, то, следовательно, оно
порождает представление группы вращений эквивалентное произведению ее
спинорных представлений рангов ft и л, т. е. эквивалентное спинорному
представлению ранга ft-j-п.
J24Q ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Поскольку в формуле (12), задающей представление (12) в про-
странстве всех спиноров ранга (k, 0), матрица действует на каждый индекс
одинаково, симметрический спинор преобразуется формулой (2) снова в
симметрический спинор, т. е. подпространство R{k 0) инвариантно
относительно представления (12).
Покажем, что представление (12) в пространстве R(k 0) неприводимо.
Действительно, в случае, когда g9 - вращение, это представление совпадает
со спинорным представлением группы вращений, ,а последнее, как было
показано в первой части книги (см. § 6), в пространстве
симметрических спиноров ранга к неприводимо и
задается весом / = Отсюда следует, что представление (12) всей
собственной группы Лоренца в пространстве R(kf0) и подавно неприводимо и
содержит лишь один вес /=у. Это значит, что [ /01 ==
k k
- - и | I = -|- 1 - Для того чтобы определить знаки у чисел 10
и /j, надо вычислить инфинитезимальный оператор F3 нашего представления.
Мы этого делать не будем, а лишь укажем, что для всех непунктирных
симметрических спиноров знаки 10 и R одинаковы (мы видели это в п. 1 на
примере непунктирного спинора ранга 1).
Такам образом, представление (12) действующее в простран-хтве Rk о
симметрических спиноров ранга (k, 0) неприводимо а определяется парой
= /1 = |+1. (15)
.Будем такое представление называть спинорным неприводимым представлением
ранга (k, 0) и обозначать Т&' °).
Очевидно, что любое неприводимое конечномерное представле-.ние, у
которого пара чисел 10 и 1Х одинакового знака и /1 = /0-|- 1,
эквивалентно некоторому представлению
II. Пунктирный спинор а ""ранга (0, и) назовем симметрическим, если он
не меняется при всевозможных перестановках индексов. Среди всех спиноров
ранга (0, п) симметрические спиноры образуют подпространство R(0 "),
инвариантное относительно пунктирного представления (13).
Так как для группы вращений представление (13) эквивалентно обычному
спинорному представлению ранга п этой группы (см. предыдущий пункт), а
последнее неприводимо в пространстве симметрических спиноров и имеет вес
1 - -^, то представление всей .группы Лоренца также неприводимо в^(о>ге)
и содержит ровно один вес, т. е. | /01 = -g-" 1М= Можно показать,
вычислив ин-
финитезимальный оператор F3 представления (13) в R(0 п), что для .-
представлений группы Лоренца в пространстве пунктирных симме-
П. 4] §4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 241
трических спиноров числа 10 и lt имеют разные знаки. (Для представления
ранга 1 это было проделано в п. 1.) Нам удобно положить:
/ - И_ 7 --------- П I 1
1о- 2' 1----
Таким образом, представление собственной группы Лоренца, задаваемое
формулой (13) в пространстве /?(0 всех симметрических спиноров ранга (0,
п), неприводимо и определяется парой
4> = -у. к = ^+Ц (16)
Такое представление назовем неприводимым спинорным представлением ранга
(0, п) и обозначим Т<Р'пК Всякое конечномерное
неприводимое представление с парой (l0, I j) такой, что \ 1г | = = |/0j-
