Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
представление (3), называется пространством пунктирных спиноров ранга 1,
а представление (3), действующее в этом пространстве,
*) Напомним, что ортогональной системой координат в четырехмерном
пространстве мы назвали такую систему (Хо, х±, х2, х3>), в которой форма
52(х) записывается в виде S2 (х) = х\- х\ - х| - х\, т. е. с помощью
матрицы I (см. § 1, п. 1).
230
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
называется пунктирным, представлением ранга 1. Ниже будет показано, что
пунктирное и непунктирное представления ранга 1 сопряжены друг другу (см.
также § 2, п. 6).
Перейдем к нахождению инфинитез шальных операторов спинор-ных
представлений ранга 1 (непунктирного и пунктирного) и вычислим
определяющие их пары (10, 1г).
Как мы увидим, эти пары таковы: дяя непунктирного представления
ч) - 2 9 1 - 2 *
для пунктирного -
I - L I - - *)
о 2 ' 1 - 2 >•
Заметим, что непунктирные спиноры е0 = (1, 0) и е1 = (0, 1) образуют в
пространстве /?(i, о) непунктирных спиноров базис, в котором операторы
представления (1) как раз и записаны матрицами а.
Аналогично этому пунктирные спиноры е^=(1, 0) и ^=(0, 1) образуют в
пространстве пунктирных спиноров R((j ^ базис, в котором операторы
представления (3) записываются матрицами а.
Мы вычислим ниже матрицы инфинитезимальных операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_,
F3 представлений (1) и (3) в базисах (е0, и (е-, ej). Попутно мы
установим связь между базисами (е0, et) и (е^, е-х) и каноническими
базисами ?_!/") и (т],-2, спинорных
представлений (1) и (3).
Начнем со случая непунктирного спинорного представления. Напомним, как
строилось соответствие между матрицами а и преобразованиями Лоренца.
Каждому вектору (х0, xv х2, -х3) из R4 была отнесена эрмитова матрица
х0 - х3 xx-j- ix?
с- . I
- ixг2 Xq -j* *з
Тогда преобразование вида
с' = аса *,
где а - любая комплексная матрица второго порядка и deta=l, задает в Ri
собственное преобразование Лоренца.
В § 1 мы показали, что так может быть получено любое собственное
преобразование Лоренца g и две матрицы, соответствующие одному и тому же,
преобразованию g, отличаются лишь знаком.
Найдем теперь, какие матрицы а соответствуют вращениям в плоскости (хи
х2) (вокруг оси х3). Преобразование в плоскости (х^ х2)
*) Напомним, что в п. 6 § 2 числа /0> А были вычислены лишь с точностью
до знака у /о- Здесь мы определим знак у 13 для каждого из спинорных
представлений ранга 1.
П. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 231
имеет вид
Хх = Xi COS <Р + *2 Sltl Т>
Х2 = -sinijcp -|- Х2 COS ср,
х'з = ' J
/
*0 =
Отсюда
х0 - *3 С*! + лдг2) е-*?
(-*1 ix2) ё^(r) Xq -1- Хг;.
Хх - гх2 Х0 + Х3 I
Легко проверить, что требуемое преобразование задается матрицей
io
2 о
о
, другими словами,
щ,х§ - х$ хj *¦[- ix*i
е2 0
1*9
0 е~т
*о - х3 (Хх + tx3) e-i'f
{х-х - ix2) elf х0 ~Ь х3
Таким ^образом, вращениям в плоскости (xt, х2) соответствуют матрицы
~а (ср) = ±:
о
а инфинитезимальный оператор Н3 имеет вид
Я3-
1 2 0
1 . О 1 2
(5)
Отсюда видно, что векторы базиса (е0, вх) в двумерном пространств R(ij0)
с точностью до множителя совпадают с векторами канонического базиса /5 г
" ? 1 \ нашего представления. Если же вычислить \ Т ~~2/
232
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. 11
операторы Н+ и #_*) (мы этого делать не будем), то можно убе диться, что
базисы (е0, ej и /? i , ? i \(r)в точности совпадают:
\ т ~тГ
ех - %у_, е2 - ?_j_-2 2
Таким образом, непунктирные спиноры с компонентами (1, 0) а (0, 1)
образуют канонический базис (?i, \ i) непунктирного
t Т "TJ
спинорного представления.
Операторы Н+ и Н_ имеют, как всегда, вид
"- -ф,}
Найдем оператор F3- инфинитезимальный оператор, соответствующий
преобразованиям в плоскости (х0, х3). Эти преобразования записывают так:
х^ - xQz\\t -f-x3sh?,
| 0 0 0 1
а: + II 1 1 0 II 1 а: 0 0
Xi = г
х2 =
xv
Хо,
Отсюда
х3 = х0 sh t
' I • ' II x, -j- ix2
¦x, ch t.
Г , f f , f
x1 - ix2 xQ + x3
(x0 - x3)e-t
Xt - ix2
¦X-j- ix 2 (x0 + XS) e*
Снова легко проверить, что такое преобразование достигается с помощью
матрицы
a (t) =:
0
(6)
Таким образом, преобразованиям в плоскости (х0, х3) соответствуют матрицы
(6), а инфинитезимальный оператор этих преобразований F3 равен
I П
F3 - -
Операторы F+ и F_ имеют вид
II 0 0 0
(Их вычисление мы предоставляем читателю.)
F_ = - i
0 1 о о
(7)
(70
*) Такое вычисление проделано в первой части книги, § 2, стр. 40.
П. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 233*
Сопоставляя формулы (7) и (7') с формулами (13) - (16) §2 мы получаем,
что наше представление задается числами 10-
Рассмотрим теперь пунктирное спинорное представление. В отличие от
предыдущего случая базис (е-0, ?;) в пространстве пунктирных спиноров не
является каноническим.
Оказывается, что канонический базис пунктирного представления-|ir]i , 7]
1 | связан с базисом ?;} с помощью матрицы
т. е.
?И_ = - е\, 7i_±==eo-
2 2
Иными словами, пунктирные спиноры с компонентами (0, -1) и (1, 0)
