Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
образуют канонический базис (tj i , т] i ) пунктирного спи-
1 Т "Т1
норного представления.
Чтобы убедиться в том, что базис !r\ \ , tj \ \ является канони-
\ Т ~Т)
ческим, запишем в этом базисе операторы пунктирного представления и
найдем его инфинитезимальные операторы. Очевидно, что* если в базисе (ее^
операторы представления (3) записываются
матрицами ад, то в базисе ^ i , tj i j они запишутся с помощью* матрицы
ia х-К
Но
¦zagx~x = (а*)-1 [см. § 1, п. 4, (И')]-
Итак, в базисе fiq i , tj j 1 пунктирное представление (3) запишется ( Т
~TJ
матрицами
(8)
Если g- вращение, то ад - унитарная матрица: ад = (а*д)~1. Поэтому для
вращений g представление g -* ад совпадает с представлением
ёа->{ад)-\
*) Отметим, что из формулы (8) уже видно, что пунктирное спинорное
представление сопряжено непунктирному и потому определяется парой чи-
сел ( - Т' т)(см' "• 5 § 2)-
234
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
¦Следовательно, операторы Н+, Н_, Н3 пунктирного спинорного
.представления ранга 1 в базисе Irji , г/ j 1'задаютсясоответственно
1 т'
матрицами Н+, И_, Н3 равными
II 0 0 0 1 II 1 2 0
"Н> 0 1, н.= II О О 0 1 2 (9)
Полученные формулы означают, что -базис (t)i , т] i 1 действи-
1 Т ~Т J
тельно является каноническим для этого представления. Найдем матрицы
операторов F+, F_, F3 в базисе (t]i , rj г \ . Как мы уже
1 Т "TJ
видели, матрица aSj, соответствующая гиперболическому повороту -•в
плоскости (д:0, лс3), имеет вид (6):
t-, 2
О е
Следовательно, матрица (а^эз)-1 имеет|'вид
(а* )-' =
\ воз)
е2 О
(80
Отсюда для матрицы F3 инфинитезимального оператора F3 в базисе |t]i , у\
i) получаем окончательно выражение I Т
-1 о
/0 =
0 1
(10)
Наконец, операторы F+, F_ в базисе (tji , tj i ) запишутся матри-
I Т ~Т]
цами
0 0 Р0 1
II + 1 0 F =ш .0 0
(юо
Из сравнения формул (13) - (16) § 2 и вида инфинитезимальных
•операторов (F3, FF+) получаем, что представление (3) опреде-
" / 1 3 \
ляется парой I-1.
Выпишем, наконец, матрицы инфинитезимальных операторов Н3, Н+, Н_, F3,
F+, F_ в базисе \е-0, е{}.
п. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 235
Имеем:
Но - zHoi~l =
Аналогично этому получим:
-Y 0 0 \
я+ = 0 -1 0 - -1
0 0 F+ = - h 0 0
0 0 0 0
я_ = -1 0 , F_= - t -1 0
1 О
О -1
(Ю")
Итак, для обоих спинорных представлений 1 первого ранга мы нашли их
инфинитезимальные операторы, канонические базисы \ 1 |. и|т)1 , г] 1 | и
задающие эти представления числа l0, lv
Подведем всему этому итог.
Непунктарное спинорное представление ga-+±:a ранга 1 задается парой у j,
его канонический базис jS; i , $ г | состоит
из непунктирных спиноров (1, 0) а (0, 1) и операторы представления (1)
записываются в этом базисе матрицами а. Инфинитезимальные операторы в
базисе j?i , I \ | имеют вид (5), (5'), (7)
и (V).
Пунктирное спинорное представление ga-+y^a ранга 1 задается парой ^ j,
yj, его канонический базис jr)i , т] i j
стоит из пунктирных спиноров (0, -1), (1, 0) и операторы самого
представления (3) в этом базисе записываются -матрицами (а*)-1.
Инфинитезимальные операторы пунктирного представления в базисе (tj 1,т] j
) имеют вид (9), (10) и (10'). Канонический базис I 7 "Tj
(т) 1 , т) пространстве пунктирных спиноров связан с бази-
I Т ~Т/
сом ^=(1,0), ef=(0, 1), в котором пунктирное представление записывается
матрицами а, преобразованием т с матрицей
0 1 II х = _i о Г
со-
Инфинитезимальные операторы Н+, НН3, F+, F_, F3, пунктирного
представления в базисе {<?•, имеют вид (10").
236 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч.
IT
Заметим, что канонический базис всякого представления во многих
отношениях очень удобен. В связи с этим часто рассматривают компоненты
пунктирного спинора относительно канонического базиса (t]i , r\ i ) .
Если обозначить эти компоненты через i т ~т>
а• и a j, то они, очевидно, связаны с компонентами (а°, а'1)
соотношениями
а- = а\
Величины (a-Q, при собственных преобразованиях Лоренца преобразуются,
очевидно, с помощью матрицы (а*)-1. Эти величины (а-п, а;), называемые
пунктирными спинорами с нижними индексами, мы рассмотрим подробнее в
следующем пункте.
2. Опускание индексов у спиноров первого ранга. Рассмотрим билинейную
(неэрмитову!) форму
SW&P (a = 0, 1, 3 = 0, 1) (11)
". 3
с матрицей
0 +1 1К(з1| = _! о
aa, № - два непунктирных спинора.
Как мы не раз отмечали, имеет место равенство
azaT р = х,
где атр-транспонированная матрица а. Это равенство означает, что
билинейная форма (11) инвариантна относительно представления ga-^-a,
действующего в пространстве непунктирных спиноров. Аналогично этому форма
(по
• г
(а" и № - пунктирные спиноры) инвариантна относительно представления ga-
>a. С помощью матрицы т из непунктирного спинора а$ образуем величину
".= 2 V* (a = 0,1). (11")
3=o,i
Величину (с0, аг) будем называть непунктирным спинором ранга 1 с нижним
индексом, а операцию (11") - опусканием индекса.
Легко проверить, что спинор (а0, ax) при преобразовании Лоренца ga
