Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ I / V /
zi = aioz +aiozv
a z0, zx соответственно
z>Vo+V('
*1 = Vo + "io*r После такой замены переменных полином p(z0, zv z0, zt)
перейдет в полином p(z'0, z'u Zo, z'i) от переменных z'0, z\, z'o,z[,
снова принадлежащий R(ic,n)- Преобразование в R(k,n) P~> P линейно и
задает представление группы 51:
Тар = р.
Напишем, как преобразуются коэффициенты алi'" "Л •••""" при этом
преобразовании Ту.
7>-г*(вл2 "'*•"Ч ¦ - - Ч*ц ¦ ¦ ¦ ч)-
=Ч S ¦ 'л(S1х (S'х " •
••• X Г У й 1 X ГУ я -' • z. ^ X • • ¦ X ГУ! а -' • z. 'j =
VkaJ "1"1 "1/ %% "J
1 VI "1 "7 "1 ••• " f ' ' ' . л. -. .
= -п-г /ia ¦ • • 2 z- ...z-, (28)
где
"j ... "/ "j ... w-i a, ... a, a, ... a
a 1 к 1 л = 2о - ...a ' a. a.' ¦ a 1 к 1 (29)
a,a, ai.a,, a.a. a a v
11 ft ft 11 n n
Полученная формула совпадает с формулой (14). Это означает, что
коэффициенты полинома p(z0', zv z0, z{) образуют симметрический спинор
ранга (k, п). Следовательно, представление (28) в пространстве Й(к,п)
полиномов p(z0, zv zQ, Zj) эквивалентно представлению (14) в пространстве
R^.n) симметрических спиноров ранга (k, п). Последнее же неприводимо и,
как мы видели, определяется парой
250 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Преобразуем несколько полученные формулы. Каждый однородный многочлен
p(z0, zv z0, z{) степени k no z0 и и n no z0 и zt можно записать в виде
p(z0, zi, z0, zt) = z*z*p (h, 1, 4Р-, l). (30)
\ г1 гх I
Обозначим
- г= ? -^2- \
Z± ?!
Тогда можно написать:
P(z0, Zv zQ, Z1) = z*z"q(l,l),
где q(%, 5) = />(?, 1, 1) есть полином степени k по l
и степени п
по Пространство полиномов q(%, ?) обозначим Rqc,n)-
Очевидно, что представление (28), действующее в пространстве
R(h,n) однородных полиномов, можно считать действующим
в пространстве R^.n) полиномов q(l, ?).
Найдем формулы, задающие это представление. Так как
b = -jFZP(zo> *i> *о> *i).
ziz\
ТдЧ - ft-я Тдр-
z1zl
Используя это, получаем:
Ь = 4^Т,
2,2
1Л 1
к п ( •S'o ZiZi q -2- , -J-
г1 *i
^(etoz0 ++ (a^ + a^ , =
z\z J1 \й10г0+Ди^1 "ю^о + /
4 aio? + en aio? ^ all > Итак, окончательно мы получаем, что неприводимое
представление собственной группы, действующее в пространстве полиномов
g(?, 5) степени k по Е и степени ti по ?, задается формулой
Tgq (?, 1) = (Дц? + аа)* (fl10~c +~anfq ( a^±^L ; -Ц±^Л . (31)
V a105 + an ayfi + an j
Из этой формулы видно, что действие операторов представления Тд •сводится
к замене переменных в многочлене q(Z, $) с помощью дробно-линейного
преобразования и умножению q(l, Е) на некоторые выражения, зависящие от
коэффициентов этого преобразования.
П. 7] § 4. СПИНОРЫ и СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 251
7. Унитарные представления собственной группы Лоренца.
В предыдущем пункте было рассмотрено представление ga -> Тд :
Заменяя k и п их выражениями через 10 и Ip. k = l0-\-l-1, n = ll-10-1,
перепишем формулу (31) в виде
Ясно, что эта формула имеет смысл при произвольном комплексном 1Х и
полуцелом 10, если только вместо полиномов q(p, I) взять подходящее
семейство функций. При этом оказывается, что имеет место следующая
замечательная теорема:
Любое неприводимое представление собственной группы Лоренца эквивалентно
представлению, задаваемому формулой (32) в подходящим образом выбранном
пространстве функций. Доказательство этой теоремы проводится по
следующему плану: в § 2 были найдены всевозможные неприводимые шестерки
операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, удовлетворяющие соотношениям
коммутации (Г-XV'). Оказывается, что если вычислить инфинитезималь-ные
операторы представлений, задаваемых формулой (32) при различных значениях
(l0, Zt), то получаются все описанные в § 2 шестерки неприводимых
операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3. Тем самым, во-первых, мы доказываем
сформулированную выше теорему и, во-вторых, получаем, что действительно,
каждая построенная в § 2 шестерка операторов {Н+ _ 3, F+t _ 3} служит
инфинитези-мальными операторами некоторого неприводимого представления
группы Лоренца, т. е., другими словами, каждой допустимой паре (/0, /j)
отвечает некоторое неприводимое представление собственной группы Лоренца
*).
Построим с помощью формулы (32) унитарные представления собственной
группы Лоренца.
(31)
/
действующее в пространстве Rhn полиномов q(?, $). Напомним, что это
представление определяется парой
ТдаЯ& ?) =
й1о5 Ч Лц Що? -j- я\\)
*) Подробное доказательство, проведенное по этому плану, см. в статье М.
А. Наймарка, Успехи матем. наук IX, вып. 4 (1955), 89-90.
252 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
A. Основная серия унитарных представлений. Числа (/0, у, определяющие
унитарное представление, принадлежащее к основной серии, имеют вид (см. §
2) = lx = ip, где
т - произвольное целое число и р - произвольное вещественное число.
В качестве пространства, в котором мы зададим представление, рассмотрим
гильбертово пространство функций /(?) со скалярным произведением
(А. Л) = / Л (О Л (s) dxdy (S = х + iy).
С помощью несложной выкладки, которую мы здесь опускаем, легко убедиться
