Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
х*- т*(0,-Tj или у;~т?у0.0).
причем так, что оператор S действует в компонентах у и у* одинаково
(одновременно, либо по формулам (19), либо по формулам (20)).
Таким образом, мы получили, что представление g-^-Tq полной группы
допускает инвариантную невырожденную билинейную эрмитову форму в том а
только том случае, если число эквивалентных между собой компонент ул, ,
.уь,... совпадает с числом эквивалентных между собой компонент у\,...
,ys,. При этом сама форма (ly, ф2) имеет вид (15) с дополнительным
условием (18).
Применим полученный результат к случаю неприводимого представления полной
группы. Если это представление состоит из двух неэквивалентных компонент
х.- (/0, /х) и т~(/0, - 1Х) собственной группы, то инвариантная форма
(<|у, ф2) Для такого представления существует, очевидно, лишь тогда,
когда
1) либо 7 = т*, 2) либо т = т*, т. е. либо (Z0, Zi) = (Z0> - Ч). либо
do,' h) = do. Ч-
В первом случае 1Х-чисто мнимое, во втором случае 1Х действительно.
Если представление g -э-Тд полной группы содержит одну компоненту 7 - (0,
Zx), то инвариантная форма существует только при 1Х действительном или
чисто мнимом. Наконец, у представления
228
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ* ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
полной группы с комюнентой т~(/00) инвариантная форма ф2) существует
всегда.
Итак, неприводимое представление полной группы допускает инвариантную
невырожденную эрмитову форму в том и только том случае, когда это
представление содержит компоненты (т и i) с действительным или чисто
мнимым lv
В частности, конечномерное неприводимое представление полной группы
всегда допускает инвариантную невырожденную эрмитову форму.
Вернемся к случаю призэдимэго представления, допускаюцего инвариантную
форму.
Аналогично тому как это было сделано в п. 8 предыдущего параграфа для
формы, инвариантной относительно представления собственной группы
Лоренца, билинейную невырожденную инвариантную форму (15) можно
привести к несколько более простому виду, а именно, можно
так выбрать
базис, чтобы для каждой компоненты т (/0, I) существовала лишь одна
компонента х*(/0, - Tt) такая, что дхх* ф 0, при этом:
1. В том случае, когда пара компонент (х, -с), определяющая неприводимое
представление полной группы, совпадает с парой компонент (т*, т*) (что
будет, как мы видели, при /1 чисто мнимом: х = х*, или вещественном: х
=т*), можно добиться, чтобы
йтг* = ± 1. (21)
2. В случае, если пары компонент (х, т) и (х*,хг) не совпадают (/t не
вещественное и не чисто мнимое), можно выбрать базис так, чтобы
й^* = 1. (22)
Заметим, что если среди неприводимых компонент представления g-*- Тд
встречаются компоненты с lL вещественным или чисто мнимым (случай 1), мы
можем построить несколько существенно различных инвариантных форм,
отличающихся знаком у соответствующих йт;".
§ 4. Спиноры и спинорные представления собственной группы Лоренца
Как мы видели в первой части книги, все неприводимые представления группы
вращений можно построить с помощью спиноров -величин, определенным
образом преобразующихся при вращениях трехмерного пространства.
Здесь мы определим спиноры для собственной группы Лоренца и покажем, как
с их помощью получить все ее конечномерные неприводимые представления.
1. Спиноры ранга 1. В § 1 было построено двумерное двузначное
неприводимое представление собственной группы Лоренца
П. 1] §4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 229
- определенная с точностью до знака комплексная матрица второго порядка с
определителем, равным единице.
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат (х0, хи х2, х3) *)
четырехмерного пространства задана определенная с точностью до знака пара
комплексных чисел (а°, а1), которая при переходе от одной системы
координат к другой с помощью преобразования Лоренца g - ga преобразуется
матрицей (2) по формуле
а°' - ата° -\- а^а1, j
а1' = а10а° апа1. )
Такая пара чисел называется непунктирным спинором первого ранга
относительно собственной группы Лоренца.
Линейное двумерное комплексное пространство R(i, о), в ко_ тором
действует представление (1), называется иногда пространством непунктирных
спиноров ранга 1, а само представление (1) носит название непунктирного
спинорного представления ранга 1.
Рассмотрим теперь наряду с представлением (1) другое двузначное
неприводимое представление, задаваемое формулой
ga^±a, (3)
где
а00 аь\ а10 а и
а -
(4)
- матрица, элементы которой комплексно сопряжены элементам матрицы (2).
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат (х0, хх, х2, х3)
четырехмерного пространства R4 задана определенная с точностью до знака
пара комплексных чисел (а0, а1), которая при переходе от одной системы
координат к другой с помощью преобразования Лоренца g=^ga преобразуются
матрицей (4) по формуле
а<>' = ата°а01а1, а1' = а10а° -f- апа1.
(30
Такая пара чисел называется пунктирным спинором первого ранга
относительно собственной группы Лоренца.
Двумерное комплексное пространство R(-j 0), в котором действует
