Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
в том, что операторы
V го=ы/ бйтё)
унитарны в нашем гильбертовом пространстве.
Нетрудно показать, что это представление действительно неприводимо и
принадлежит основной серии, причем определяющие его
числа равны l0 = ~, lx = ip *).
B. Дополнительная серия унитарных представлений: /о=0 |/1| = р< 1.
Определяющие представление этой серии числа равны (см. § 2) /0 = О, 1Х =
р, где р - вещественное, 0 < р < 1. Для реализации представлений
дополнительной серии с помощью формулы (32) рассмотрим гильбертово
пространство функций / (5) со скалярным произведением
(/1/2)- J | ?21 P/i (5i)/2 (У dxx dyx dx2 dy2
(?x - xt -)-iyx, \2 - x2-\-iy2).
В соответствии с формулой (32) операторы представления задаются так:
Так же как и в предыдущем случае, легко доказывается, что это
представление унитарно, неприводимо и что определяющая его пара чисел
равна (/0, У -(0, р).
8. Замечание о тензорах. Наряду с реализацией конечномерных
представлений собственной группы Лоренца с помощью спиноров часто
используется и другая реализация этих представлений - тензорная.
*) См. цитировавшуюся выше статью М. А. Наймарка, Успехи матем. наук IX,
вып. 4 (1955), 68-78.
П. 8] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 253
Определение тензора. Пусть в каждой ортогональной системе координат нам
задан набор 4" чисел tklkt...* (&i =
= 0, 1,2, 3), который при переходе от одной системы координат к другой с
помощью собственного преобразования Лоренца ^ = преобразуется по
формуле
tk'A ' §knknhk 2 -К ki = °' 1 ' 2' 3)' (33)
Такой набор чисел tu,. а мы назовем тензором п-го ранга
1 П
относительно собственной группы Лоренца *).
Представление, действующее в 4п-мерном пространстве таких тензоров, мы
будем называть тензорным представлением собственной группы Лоренца ранга
п. Например, величины
thyt...kn - Xji^XjcsXji^ . . . Х;сп
(x0, xv х2, х3 - координаты точки в четырехмерном пространстве) образуют
тензор п-го ранга; величины xk(k = 0, 1, 2, 3) образуют, таким образом,
тензор первого ранга, иначе называемый вектором.
Заметим, что тензорное представление (33) ранга п эквивалентно я-кратному
произведению самого на себя тождественного представления группы Лоренца,
действующего в пространстве R(4> (х0х1хгх3) по формуле
xh' == ёк'кХк-
Представление (33) в пространстве тензоров, вообще говоря, приводимо.
Выясним, какие у него могут быть неприводимые компоненты. Поскольку
представление собственной группы g-+g, действующее в четырехмерном
пространстве, содержит лишь целые веса/(/ = 0, 1), то и тензорное
представление (33), эквивалентное /г-кратному произведению представления
g~+g, содержит только целые веса /. Это означает, что числа /0, lv
определяющие неприводимые компоненты тензорного представления, являются
целыми.
*) Наряду с тензорами tk к с нижними индексами рассматривают также Jl •"
j
тензоры вида tk^ , причем при собственных преобразованиях Лоренца на
верхние индексы действует матрица ||g^^||= (|| g,ftift|JTp)-1:
Jl JJl ''' 3Js- Ji ¦¦¦ 3n _ ..
Однако представление (34) эквивалентно представлению (33) (см. § 1, п. 1)
и мы не рассматриваем его особо.
254
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I?
В § 6 будет доказано обратное утверждение, а именно: всякое конечномерное
неприводимое представление собственной группы, если только определяющие
его числа 10, ^ -целые, эквивалентно неприводимой компоненте некоторого
тензорного представления.
Отметим еще, что с помощью формулы (33) можно задать в пространстве
тензоров представление полной (а также общей) группы Лоренца, если взять
в качестве матрицы HgVjJI матрицу у, соответствующую пространственному
отражению. Таким образом, представление собственной группы Лоренца (33)
можно дополнить до представления полной (и общей) группы Лоренца.
Согласно результатам § 3 из этого вытекает, в частности, что наряду с
каждой неприводимой компонентой представления (33), определяемой парой
(/0, А), тензорное представление содержит сопряженную компоненту,
определяемую парой (-10, /,).
В § 5 мы еще раз вернемся к представлению полной группы в пространстве
тензоров.
В заключение рассмотрим более подробно тензорное представление второго
ранга
действующее в 16-мерном пространстве тензоров Это представление
приводимо. Найдем его неприводимые подпространства.
Заметим, что симметрические тензоры - образуют подпространство
(размерности 10), инвариантное относительно представления (35).
Антисимметрические тензоры = -?&,*,) также образуют подпространство
(размерности 6), инвариантное относительно тензорного представления (35).
Подпространства /?<6) и /?0°) не имеют общих элементов, отличных от нуля,
и в сумме дают все пространство #<16) тензоров ранга 2
Однако в каждом из инвариантных подпространств Rи R(10'' тензорное
представление (35) все еще приводимо, и мы должны раскладывать эти
подпространства дальше.
Симметрические тензоры. Заметим, что симметрический тензор hfc с
компонентами -З^ = 8П = 822 = 833 == 1 и 8*^ = 0 при kt^k2 переводится
