Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 83

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 132 >> Следующая

приводимо. Можно показать, тем не менее, что обе компоненты представления
полной группы не эквивалентны: оператор 5 действует в одной из них по
формуле
= 1)1г,&"
и в другой - по формуле
5&" = (-1)Р, + 1&".
Матрица оператора 5 в базисе имеет вид
5 = IS о|
где снова
О -5|
s=!(-!)'%'&""'!
Найдем вид оператора J, соответствующего полному отражению. Этот оператор
коммутирует с оператором Тд< из представления собственной группы g' ->
Тд'. Легко показать, что в базисе {Цт, J
он запишется с помощью матрицы
j J
Из условия 57 =- 75 и 72 = - Е имеем:
Ч-°* г
или
Jp _tr Jt, ?¦"
JHm 4m' Нт'
Наконец, для оператора Г =75 имеем:
пх1т=-(- i)w 4т. п\т=- (_ 1 т;т.
п. 5]
т. е. матрица для оператора Т в базисе J ?*
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА
имеет вид
* *"/*• на, |
I о - s
т=
225
Легко проверить, что операторы 5, Т, J по-прежнему перемножаются по
таблице (13).
Заметим, что в сумме пространств R и мы можем перейти
к базису, в котором оператор J диагоналей, а именно, к базису film' l
^lm Тlm ^lm, ^lm'
Подпространства R? и R^, натянутые соответственно на базисы {hm}' {~4im}'
инвариантны и неприводимы относительно представления g' -> Тд'
собственной группы, причем базисы И {rilm} являются
по-прежнему каноническими.
В базисе {Чш, -qlm} матрицы операторов S, Т, J примут вид
S =
Такой же виД'-эти матрицы имели в предыдущем случае двух неэквивалентных
компонент Тд' Тд< представления собственной группы.
Таким образом, объединяя оба эти случая вместе, мы получаем, что
неприводимые двузначные представления общей группы содержат всегда два
сопряженных друг другу неприводимых представления собственной группы, при
этом в пространстве R, где действует наше представление, всегда можно так
выбрать канонический базис, что операторы S, Т, J запишутся в нем
матрицами
0 S 0 iS II ¦' . ' II -iE 0
S т= J= IE
0 - is oil II 0
Т =
О IS
¦ is о
J--
-1Е О О IE
(14)
где матрица S == ||(- 1)т 8mm' ||-
Заметим в заключение, что если от канонического базиса
ta'm. km] перейти к базису {i}m, с*(tm)}
Йт = Йто. °1т - (- 1)?
то операторы S, Т, J в этом базисе запишутся матрицами
О IE -IE О
- IE 0 0 E
0 IE $ S = E 0
Т=\
Такой вид матриц операторов S, Т, J будет нами использован в § 5.
226
ГЛ.'1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
6. Билинейная эрмитова невырожденная форма, инвариантная относительно
представления полной группы Лоренца. Выясним, в каких случаях
представление g -> Тд полной группы Лоренца допускает инвариантную
невырожденную билинейную эрмитову форму (Фо Фа). и найдем ее вид.
Представление g -" Тд полной группы распадается на неприводимые
компоненты, каждая из которых содержит либо одну неприводимую компоненту
представления собственной группы Лоренца, либо две неэквивалентные
сопряженные друг другу компоненты тит.
Рассмотрим представление g' -> Тд- собственной группы, порожденное
представлением*.^->аТр*полной группы Лоренца.
Напомним, что представление g'-*¦ Тд> допускает инвариантную билинейную
эрмитову невырожденную форму тогда и только тогда, когда число
неприводимых компонент этого представления, определяемых парой (/0, lt),
равно числу компонент т* с парой (/0, - При этом в каноническом базисе
[\im\представления g-' Тд< инвариантная форма (фг, фг) имеет согласно
(39) § 2 вид
{фх> Фа)== я SiXimyim> (15)
где х}т, уш - координаты ^ и ф2 в базисе {^т} и a'z* - a'4 - любые
комплексные числа, отличные от нуля лишь для компонент т - (/0, 1{) и т*
- (/0, - Zt); 5z = drl (для конечномерного представления 5г = (-l)1*').
Для инвариантности формы (15) относительно полной группы нужно еще,
очевидно, чтобы
(S<W, s<k) = 0W, <ы,' (16)
где 5 - оператор, соответствующий пространственному отражению. Отсюда
(S&,, SQ = (&". Kim)- (17)
Подставляя в равенство (17) выражение для 5 (см. (5), (5'), (8)),
получим, что числа, задающие инвариантную билинейную форму, должны
удовлетворять условию
а - zt а" . (18)
При этом в случае, если т - т, (т. е. компонента т определяется парой
т(0, /х) или т(/0, 0), а следовательно, их*= т*), оператор S должен
действовать в пространствах R? и Rx одинаково, т. е. либо по формулам
S\lm = (- 1 ?Чт И SC = (- 1 f\Tm, (19)
П. 6] § 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 227
либо по формулам
s&"=(- 1 )[1]+1&" И Sg; = (- 1)[гз + 1?г" (20)
(см. п. 3, случай I).
Сформулируем теперь полученный результат.
Наряду с каждой неприводимой компонентой у представления полной группы
Лоренца, состоящей из двух компонентой о представления собственной группы
Z (т do, h)> х| do. ^i) )> do 0, 1\ф 0) рассмотрим друг)Ю неприводим)ю
компоненту у'\ также состсящ)Ю из двух компонент о* и о* представления
собственной группы
70;>•.(/(,, Tj)).
Точно так же для каждой неприводимой компоненты представления полной
группы у, состоящей из одной компоненты представления собственной группы
у ~ 7 (0, 1Х) или у ~ т (Z0, 0),
рассмотрим неприводим)ю компоненту у*, состоящую из компо-ненты т*,1
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed