Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 82

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 132 >> Следующая

>- Тд, действующего в прямой сумме пространств R' R~ = R. Оператор S
имеет при этом вид (8).
Оба рассмотренных нами случая I и II полностью исчерпывают все возможные
неприводимые представления полной группы. Таким образом, мы дали полное
описание этих представлений.
4. Неприводимые однозначные представления общей группы Лоренца. Общая
группа получается из полной группы Лоренца добавлением временного
отражения t, т. е. преобразования с матрицей
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 - 1
и всех преобразований вида tg, где g-элемент полной группы. Заметим при
этом, что преобразования s (пространственное отражение) и t
перестановочны и их произведение равно полному отражению j в
четырехмерном пространстве
st - ts=j, s2 - t2 = p=ie. (9)
Преобразование j (полное отражение) перестановочно с любым общим
преобразованием Лоренза
jg*=gj-
(9')
222 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление общей группы g-+Tg.
Пусть S, Т, J-операторы, соответствующие отражениям s, f и j. В таком
случае
ST - TS - J и J2 = S2 = Т2 - Е. (10)
Кроме того, оператор J перестановочен в силу соотношения (9) с любым
оператором представления
JTg-TgJ. (11)
Но оператор, перестановочный с операторами неприводимого представления,
кратен единичному, т. е. J='kE. Так как J2=E, то /, = 1 и либо J-E,
либо J--Е.
Отсюда, следовательно, либо Г=5_1 = 5, либо Т= - 5.
Таким образом, всякое неприводимое представление полной группы Лоренца
может быть дополнено до неприводимого представления общей группы двумя
способами: либо путем введения оператора Т = Tt по формуле
T=S, (12)
либо путем введения оператора Т по формуле
Т= - S. (12')
Очевидно, что таким образом получаются все неприводимые однозначные
представления обшей группы.
о. Двузначные представления общей группы Лоренца. Как было указано еще
в § 1, кроме однозначных представлений общей группы Лоренца,
характеризующихся тем, что операторы S, Т, J, соответствующие отражениям,
коммутируют между собою, интересны также и двузначные представления общей
группы.
Напомним, что в таких представлениях каждому элементу (е, s, t, j) группы
отражений соответствуют два оператора z5zE, EezS, ±Т, -в-J. отличающихся
знаком, причем операторы 5, Т, J между собой анти-комму тиру ют.
Найдем вид этих операторов для неприводимого двузначного представления
общей группы.
Можно показать, что всякое такое представление порождает представление
собственной группы g'^-Tg,, состоящее из двух компонент Tz, и Tz,,
сопряженных между собой*). При этом компоненты Tz и Tz могут быть как
неэквивалентными, так и эквивалентными; в первом случае представление
полной группы, поро-
*) Доказательство этого факта MO"ef быть получено некоторым
усовершенствованием тех рассуждений, с помощью которых в п. 2 этого
параграфа мы показали, что неприводимое представление полной группы
состоит из двух или одной компоненты представлёний собственной группы.
5] § 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 223
ждаемое представлением общей группы, также неприводимо, во втором случае
представление полной группы приводимо, но распадается на два
неэквивалентных представления, отличающихся видом оператора 5. Рассмотрим
оба случая отдельно.
Рассмотрим сначала случай, когда 7* и 7неэквивалентны. Представление g-
+Tg общей группы порождает в этом случае неприводимое представление
полной группы, причем оператор S в базисе [^т-,Цт] записывается формулой
(8)
Найдем оператор 7, соответствующий временному отражению t: t-+dzT.
Поскольку для элементов gf собственной группы выполняется разенство
tgTl = (gr\
то и для оператора 7 имеет место аналогичное равенство
77 , Т~1 = 7
а (а У*
Всякий такой оператор Т для представления собственной группы g' -> ТдI,
состоящего из двух сопряженных компонент TJ. и 7J,, как мы видели в п. 3,
имеет вид (7)
Щт = (- I)1" tjj , njm = (- if tt$,n .
Из условия 57--TS и 72 - E находим, что tftT- 1 и = i -
Iq lq Lj to
Итак, оператор 7 задается формулой
Щт = (- 1 fitin > П}т = - (- l)m •
Найдем теперь оператор J - TS. Получаем:
Заметим, что операторы S, Т, J в базисе записываются
матрицами
''о S
S = "-
5 О
7 =
О tSi \-1Б О
-is о Г I 0 Щ' ( }
где 5 - диагональная матрица, имеющая вид 5=||(-if 8Н8" Е - единичная
матрица.
224 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Легко проверить, что операторы 5, Т, 7 (13) антикоммутируют и вместе с
единичным оператором Е образуют, тем самым, двузначное представление
группы отражений: s->-zt5; / ->• 7:
е ->¦ -~+~ Е.
Итак, в случае двузначного неприводимого представления общей группы
Лоренца, содержащего две неэквивалентные компоненты представления
собственной группы, операторы S, Т, J, соответствующие отражениям в
каноническом базисе j Цт, }, записываются матрицами (13).
Рассмотрим теперь случай, когда компоненты Т'д, и Т', представления
собственной группы, порожденного двузначным представлением общей группы,
эквивалентны. В этом случае представление g ~>Тд полной группы Лоренца
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed