Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
|-l и 10 и lt-разных знаков, эквивалентно некоторому представлению
7Т°'П).
Мы видели, что представления 71*' 0) и Т(r)> п> неприводимы также
относительно группы вращений (содержат ровно один вес). Обратно, всякое
представление собственной группы Лоренца, неприводимое относительно
группы вращений, эквивалентно либо 71*'°), либо т(о, п)*\ в у'
Обратимся к общему случаю.
III. Спинор ранга (k, п) (с k непунктирными и п пунктирными индексами)
назовем симметрическим, если он не меняется при всевозможных
перестановках как пунктирных индексов между собой, так и непунктирных
индексов между собой. Симметрические спиноры ранга (k, п) образуют
подпространство в пространстве всех спиноров ранга (k, п) (обозначим его
R(k ")); размерность R(k ") равна (k-\- 1)(п -f-1). Это подпространство
инвариантно относительно представления (14), так как матрица а действует
одинаково на все непунктирные индексы, а матрица а-одинаково на все
пунктирные.
*) Для неприводимого представления собственной группы, содержащего лишь
один вес / = | /0 [, согласно § 2, п. 6, выполняется равенство
I'll =1'о 1+1-
Возможны два случая:
1. /j и /о одинакового знака (/о]>0 и lt ]> 0). Такое представление
эквивалентно непунктирному спинорному представлению 7'^°' °\
2. 1г и /0 - разных знаков (/0 <С 0, в этом случае такое представление
эквивалентно пунктирному спинорному представлению Т(r)' 2 ^
242 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Оказывается, что представление (14) в R(k п) неприводимо. Мы не будем
этого доказывать*), а найдем лишь пару (l0, IJ, задающую это неприводимое
представление. Заметим, что пространство п) симметрических спиноров ранга
(k, п) является произведением пространств R(k 0) и п) симметрических
спиноров рангов (k, 0) и (0, п)
п) R(.k, 0) X R'о, и)>
а представление (14), действующее в /?(й>п) (обозначим его 7'^-")), есть
произведение представлений g->T^'0^ и действую-
щих в R{ki0) и Я.'о.п).
ТСк, п) __ J(k, о) у 7(0, п) в в в
Представления °) и п) в . и неприводимы отно-
У Q 0) 1,0" ть)
к п п
сительно группы вращений и веса их равны и -j. В таком случае
произведение этих представлений °> X Л?' п~> - Т&' ") содер-
| й - я | й 4- п а
жит все веса от --^- Д° - ¦ g"- п0 одному разу. с)то значит, что
представление 7^' п) в пространстве R(k>n) определяется парой
(l0, /j), где
I / |__ * -л I / 1 _ k + n I 1
Но I - ¦' о " • I ?i I - -о-' "Г 1 ¦
Если вычислить инфинитезимальный оператор F3 для представления Т^'п\ то
получим, что
. к - п . k-\-п . .
h - -2-* 1 - -2-----
Итак, представление (14) g -собственной группы в пространстве
симметрических спиноров ранга (k, п) неприводимо и задается парой (/0.
^i). причем числа 10 и 1Х равны.
= /, = '+1+ О (Щ
Представление Т^' в R(k п) будем называть спинорным неприводимым
представлением ранга (k, я). Очевидно, что, подбирая числа k и п, мы
можем получить всевозможные пары (/0, 1г), задающие конечномерные
представления собственной группы (т. е. пары,
*) В п. 5 этого параграфа мы построим представление, эквивалентное
представлению (14), действующее в пространстве многочленов р (?, |) от
переменных S и 5. С помощью формул, задающих это последнее представление
(см. (31)), легко проверяется и неприводимость спинорного представления
(14).
П. 4] § 4. СПИНОРЫ И СГ ИКОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОЕСТВЕННОЙ ГРУППЫ 243
где 10 и /j - одновременно целые или полуцелые и такие, что \h\>\lo\)-
Итак, нами доказано, что любое неприводимое конечномерное представление
собственной группы эквивалентно некоторому спинорному неприводимому предо
авлению Т!д' п\ Другими словами, спинорные представления исчерпывают все
конечномерные неприводимые представления собственной группы Лоренца.
Заметим, что, как видно из формулы (17), представления Тд1' п* п Tgl'k)
определяются соответственно парами (/0, Т) и (-/0, /г), а это означает,
что они сопряжены друг другу.
Сделаем в конце одно замечание, которое мы используем в дальнейшем.
Рассмотрим представление (12), действующее в 27ь'-мерном пространстве
непунктирных спиноров. Выберем в этом пространстве базис, состоящий из
спиноров, у которых одна и только одна компонента отлична от нуля *).
Если в этом базисе записать матрицы Ад всех операторов представления g -"
Т (17), то, как видно из формулы (12), элементы этих матриц являются
полиномами от элементов матрицы а:
Ад - 1|Я*Х'(Яоо> а01, "10, йи)||
(•а и у/ - два набора спинорных индексов), т. е. комплексными
аналитическими функциями от переменных (%), a0l, aw, au).
Если мы перейдем к другому базису, то матрицы преобразуются по формуле
A = SAgS~1
и элементы новой матрицы Ад выразятся через линейные комбинации элементов
матрицы Ад, т. е. снова будут комплексными аналитическими функциями
переменных (йоо> aQV аю, аа). Если пространство распадается в прямую
сумму инвариантных подпространств, то, приурочив базис во всем
пространстве к этому разбиению и используя приведенное выше соображение,
мы получим, что в любом инвариантном подпространстве пространства всех
