Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
х мы построили спиноры с нижними индексами
"з = 2 V1" и es = 2'cs;e*. (18)
Преобразование (18) мы назвали опусканием индекса.
Спиноры (о0, flj) и (д., Oj) с нижним индексом преобразуются при
собственном преобразовании Лоренца ga с помощью матриц (йтр)-1 и (п*)-1
соответственно.
Аналогичным образом можно опускать индексы и у спиноров
любого ранга. Пусть а"" •••"*<"••• "" - спинор ранга (k, п). Величину
=s (19) Р/. ...?37 ,3 •••?,. 3,. "7, Рг
*4 з 1 irAi tii гi
мы назовем спинором ранга (k, п) с (s, р) верхними индексами и (/, tn)
нижними индексами (l-\-s = k\ р-\-т - п), а операцию (19) - опусканием
нескольких индексов. Посмотрим, как пре-
a. ...а. а. ...а,
образуется спинор a il 's Л ^р при собственных преобразова-
ниях Лоренца. Спинор а"1 "*"'¦¦¦ а" преобразуется с помощью фор-
мулы (14), где на каждый непунктирный индекс спинора действует матрица а,
а на пунктирный - матрица а. На примере пунктирного спинора первого ранга
мы видели, что при опускании непунктирного индекса матрица а заменяется
матрицей (атр)-1, а при опускании пунктирного индекса матрица а
заменяется матрицей (а*) . Легко
видеть, что так будет и для спинора любого ранга, т. е. формула для
преобразования спинора
П. 5] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 247 имеет
вид
* > • > . Г г
а. ... а. а - ... а . 0, 3, 88
1 ч •/1 3 и *"* ~ hi ki Гх 1'
а , ,3., .? =2аа ' ... а., . ... а .. . а т . . .
Зл. ••• 3* 3" 3" "; •*; ЯУ "f
Л1 Гх rm li Ji
"i ... а* а,- ... а*.
8 3 3P ' ^20)
¦•¦3*Д1 ¦¦¦ ?rm
где на верхние непунктирные индексы действует матрица а, а на
анало-
3-3-
нижние пунктирные индексы-матрица (а*)-1 = гично для других индексов.
Представление собственной группы Лоренца, задаваемое форму-
... aj "j ... "j
лой (20) в пространстве спиноров aj J ^ , очевидно, экви-
Рь • • • Рг. Р г • " • $г
Аг т
валентно представлению (14) в пространстве спиноров ранга (k, п) fl",...
"й",... с одними верхними индексами.
• • • Я7.
Рассмотрим особо случай спиноров а^ ^ с к верхними непунк-
тирными индексами и п нижними пунктирными индексами.
Представление собственной группы в пространстве таких спиноров действует
по формуле
а, ... и., , 3,3, 3 3 и I . ¦. я.
й =2" '" а п па}. (21)
V--Pn aiai -л зг-- з"
а1 * * * *?•
Очевидно, что симметрические спиноры ^ образуют подпро-
странство Rn, инвариантное и неприводимое относительно представления
(21). При этом представление (21), задаваемое в /?*, эквивалентно
неприводимому спинорному представлению Тдс'п^ ранга (k, п), т. е.
" /, k - п . k-\-п . Л
задается парой 1/0 = -^-' 1==-2 Ь )•
Заметим, что представление, сопряженное к представлению Тд1'
" I п - k пЛ-k . ,\
т. е. определенное парой I-^-> -g г Ч> можно реализовать
в пространстве R% спиноров с п верхними непунктирными индексами и k
нижними пунктирными индексами по формуле
hai---xn 41 _ ¦ _ "РkH,*i ¦¦¦ *П ,00ч
о ' = 2л а ' ... а ' а а о •
?1 ...3А ^ "J.J anan 3J---3*
Между спинорами а?' ' •* из R" и из существует есте-
"1 ... "г. ^.Jc
ственное соответствие: каждому спинору *я из Rn перестановкой
• • • рп
248
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. И
верхних индексов с нижними ставится в соответствие спинор ¦1 ""
b¦' из R% и наоборот: Pi ¦¦¦
а-< ... "7, • сс • "
в" " '*->*"' я' = В., В' = а.. (23)
Э j - - - Р д ^ ^ 4 7
Соответствие (23) обладает следующим очевидным свойством. Пусть ег ... eN
н /] .. . /у - базисы из /?* и Rg, соответственно переходящие друг в
друга при соответствии (23)
fi ->¦ &\ш
Пусть Ад - матрица представления (21) в базисе ег . . . eN, а Ад-матрица
представления (22) в базисе fx .. . fN.
В таком случае
= А(ва)*~1 ИЛИ Л"* = 'W1' (24)
Действительно, перестановка верхних индексов с нижними влечет очевидно,
замену матрицы а в формулах (21) и (22) на матрицу (а*)-1. А это и
означает равенство (24).
... аг. '
Описанное нами соответствие (23) между спинорами а-} *а и
Pi.. • рп
Ъ ? -р мы используем в следующем параграфе при построении
конечномерных неприводимых представлений полной группы Лоренца.
6. Другое описание спинорного представления. Рассмотрим совокупность
однородных полиномов р (z0, z, z0, z) степени k по z0 и zx и степени п по
z0 и zv т. е. полиномов вида
p(z0, z, z0, zt)= 2 bP,r,s,tzoZrizUt- (25)
p+r= h
Обозначим пространство этих полиномов через /?(*, П). Каждый полином из
R(h, п) может быть записан в следующем виде:
p(z0, Z,z0, 7,)= 2 z^zki...~z.n (26)
("1 "*)
("l-" "")
= 0, 1; аг = 0, 1),
где числа a"i • • "*"i ¦ • He меняются при перестановках пунктирных
индексов между собой, а также непунктирных индексов между собой. Таким
образом, каждому полиному вида (25) соответствует набор
чисел ая1"*"i "• а", не меняющихся при перестановках пунктирных и
непунктирных индексов.
П. 6] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 249
Зададим в пространстве /?(*, П) представление группы 51 следующим
образом. Пусть переменные z0, zx преобразуются с помощью-матрицы
zo = aoozo + aoiz'v
