Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 81

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 132 >> Следующая

I yl -j- 1)
= 0, то Ai - 0.
**) Покажем, что обе формулы для оператора 5 приводят к двум
неэквивалентным представлениям g -> и g-*-T^ полной группы.
Действительно, пусть они эквивалентны, т. е. найдется такой оператор В,
что
вт(р = TfB.
Поскольку для элементов собственной группы g' Тд) == и представление g' -
> Т^д) собственной группы неприводимо, то В = I.E. Отсюда следует, что
5(2) = BS^B-1 = S(r),
т. е. вид оператора 5 у обоих эквивалентных представлений g-*-T^ и g-^-T^
одинаков, т. е. либо задается формулой (5), либо формулой (5')-
п. 3] § 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 219
Всякое неприводимое представление собственной группы g' -* Тд',
эквивалентное своему сопряженному (т. е. определяемое парой вида (О, 1У)
или (/0, 0)), может быть дополнено до представления полной группы Лоренца
g-+Tg, действующего в том же пространстве двумя неэквивалентными
способами, отличающимися знаком оператора S. Сам оператор S действует
либо по формуле (5), либо по формуле (5').
II. Перейдем ко второму случаю. Представление g' -> ТЯ' собственной
группы, порожденное неприводимыми представлениями полной группы Лоренца,
приводимо и раскладывается в сумму двух представлений g'-*¦ Т^, и g'-*-
T'g,, действующих соответственно в пространствах Rх и Rx. При этом, как
мы видели, пространства R' и R' переходят друг в друга под действием
оператора 5: SRX - Rx и SRZ = RX. Выберем в пространстве/? базис
составленный
из канонических базисов представлений g' ->¦ Т', и g' = Т'д, в
пространствах Rх и Rx. Найдем вид оператора 5 в базисе Напишем
== 2 Slml'm' \l'm' И S^im = 2 Slml'm' m' • (fi)
Мы должны найти общий вид чисел и Снова вос-
пользуемся, прежде всего, тем, что оператор S перестановочен со всеми
операторами представления группы вращений, порожденного исследуемым
представлением общей группы Лоренца. Как упоминалось выше, общий вид
такого оператора был найден в предыдущем параграфе (п. 8). Используя
выведенную там формулу (32), получаем:
• • • •
оТТ -- (,"* S . "тт __ с-л'к X (,Я'\
Iml'пг'- I mm' IV ' "iml'm' ''i mm' nv >
Итак, оператор S в базисе j Цт} имеет вид
S4m = *f4m' S4m = ST4m- (6">
Заметим, кроме того, что из равенства S2 - E следует, что
ФГ= L
Нам осталось определить числа sjz и sj~. Обратимся для этого к
соотношению коммутации F3S -- SF3. Пользуясь формулами (см. § 2, (6") и
(13)), получим следующие равенства:
а?Т+а?Г=ь cw+qsf-i^0' cjsr+W-1 = °-
220 • ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
Поскольку для двух сопряженных между собой представлений g-+ Т и Л]=-
AJ, а С\ = &г (см. формулы (16) § 2), то первое
равенство удовлетворяется автоматически, а из двух других следует, что
= - 5Г-1 и s7 = -stv
Отсюда
sr=(-i)m<t. {-if si \
s(tm)sV = 1.
(7)
Формулы (7) для чисел sjz и s(tm) дают общий вид оператора 5 в базисе { Цт,
Щт |. Заметим, что при выводе этих формул мы пользовались только
соотношениями коммутации между оператором 5 и инфинитезимальными
операторами Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 представления собственной группы
Лоренца g' -+ Тд, и равенством S2 - E.
Таким образом, формулы (7) дают общий вид оператора 5, который
удовлетворяет соотношениям коммутации (1), (2) и действует в том же
пространстве, где задано неприводимое представление полной группы Лоренца
{порождающее приводимое представление g' -"¦ Тд< собственной группы).
Этим замечанием мы воспользуемся в следующих пунктах для построения
представлений общей группы Лоренца.
Оператор 5, определенный формулами (7),' может быть приведен к еще более
простому виду преобразованием базиса { ^т}> не
меняющим вида операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, Fs. Положим с этой целью -
Чт=$Чт- Мы п°лУчим, что при этом
в новом базисе
- JE стх c7xi - $ стх
h ~ Р X' h ~ а Ь1 о •
Выбирая подходящим образом аир, можно добиться, чтобы
s'(tm) = s'zz = 1.
Итак, для оператора S получаем окончательно:
>7, > (8)
s^ = (-i)R4v J
Таким образом, в базисе опеРат°Р записывается матри-
цей
П. 4] § 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 221
где матрица 5 имеет вид
S=!l(-ОЧАашИ-
Подведем итог сказанному.
В случае, когда неприводимое представление полной группы g^f-Tg порождает
приводимое представление собственной группы g' -> Тд', то последнее
раскладывается в сумму двух неэквивалентных сопряженных между собой
неприводимых представлений g' -7^, и g' Т-, собственной группы; при этом
пары чисел, определяющие эти представления, имеют вид т--- (/0, /1) и т -
¦ (- /0> li) (lo Ф 0, /1 Ф 0). Оператор S в базисе {?1т, Цп1}, со-
ставленном из канонических базисов представлений g' -* Тх, и g'-*-Tr'-,
задается формулой (8).
Легко видеть, что справедливо и обратное: два неэквивалентных сопряженных
между собой неприводимых представления g -> Тх,, g' -> Тх, (такие
представления определяются парами т ~ (/0, /х) и т~(-10, 1г) (10 Ф 0, 1Х
ф 0)), действующие в пространствах Rx и R~, дополняются единственным (с
точностью до эквивалентности) способом до представления полной группы g-
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed