Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
da а2 ( k' \2 / k' . k ¦ 2 аЛ
?=wlТ) (ЛГ + T~smV-
Полное сечение нетрудно получить интегрированием по телесному углу фотона. Вводя z = cos 0 и используя (7.70), находим
+ 1 ,
яа2 Г , ( 1 .
т2 J02! [1 + (A/m) (1 -z)]3
-1
1 1 — z2 \
+ [1 + (A/m) (I — гг)] ~ [1 +(k/m)(\ - z)]2 J ' (7,75)
При низких энергиях сечение вновь переходит в томсоновское
8я а2 k _
сг = -5------------------------т при->-0.
3 т.2 г т
При высоких энергиях полное сечение равно
да-
km
Доминирующим является логарифмический член, возникающий от второго слагаемого в (7.75).
§ 31. Аннигиляция электронной пары в гамма-лучи
Если повернуть диаграммы Фейнмана для комптоновского рассеяния и расположить их, как показано на рис. 7.8, то мы получим другой интересный физический процесс. Это двухфо^ тонкая аннигиляция электрон-позитронной пары.
136 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Соответствующий матричный элемент в импульсном пространстве с указанными на рис. 7.8 обозначениями имеет вид
Sfi = уг д/ E+E-2ki2k2 (2я)464(^1 + К ~ Р+ ~~ Р-) v(P+> S+)X
X Г(— -----с----(— ^i) +
L Г>~— «1 — т
+ (—tei)-------1------(— /ё2)]м(р_, s). (7.76)
р _ — к, — т _| 4 '
Он симметричен относительно перестановки двух фотонов, что согласуется с требованиями статистики Бозе. Этот процесс имеет
Рис. 7.8. Аннигиляция пары.
следующую интерпретацию на языке фейнмановских пропага-торов: родившийся в прошлом электрон переходит в результате рассеяния в состояние с отрицательной энергией —р+ и распространяется назад в прошлое. По пути он испускает два фотона, т. е. дважды отдает энергию полю излучения. Это наинизший по е2 порядок, в котором может происходить данный процесс, поскольку при однофотонной аннигиляции пары нарушается закон сохранения энергии-импульса. Чтобы обеспечить симметрию относительно перестановки двух фотонов, необходимо учитывать обе изображенные на рис. 7.8 диаграммы:
Возвращаясь к амплитуде комптоновского рассеяния, мы замечаем большое сходство между (7.76) и (7.67). Действительно, при замене
8, k 8Ь — ku е', k' ¦«-» е2, + k2,
7.77)
Pt, st++p_, s_,
Pv sf*-> — p+, +s+
эти амплитуды переходят друг в друга. Мы имеем в данном случае пример общего правила [50], справедливого во всех
АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ В ГАММА-ЛУЧИ
137
порядках теории возмущений, которое связывает между собой процесс
A + B-+C + D
и, например, процесс
A + C-+B + D,
где В означает античастицу по отношению к В и т. д.
Другой пример применения этого правила, называемого кросс-симметрией, относится к связи между амплитудой тормозного излучения (7.56), которой соответствуют диаграммы на рис. 7.5, и амплитудой рождения пары в кулоновском поле, изображенной на рис. 7.9.
Дифференциальное сечение получается из матричного элемента (7.76) уже знакомым нам способом. Для неполяризован-ного позитрона, сталкивающегося с покоящимся в лабораторной системе неполяризованным электроном, оно имеет вид
А.. е' f т (-D с т~Р+ ( Miei | Мг®2 \Р- + т v
° ~ (2л)2 J Е+$+ 4 йр 2т \2р_ ¦ ?, 2р_ ¦ k2 ) 2т Х
<7-78>
где р+ = р+/Е+ есть скорость налетающего позитрона, множитель !/4 возник в результате усреднения по начальным спиновым состояниям электрона и позитрона, а знак минус возник за счет принятой нами нормировки волновой функции позитрона (см. формулы (3.9)). Матричный элемент упростился благодаря выбору поперечной калибровки, согласно которой в лабораторной системе имеем
е, • Р_ = е2 - р_ = 0.
В силу кросс-симметрии эта калибровка совпадает с использованной нами при расчете эффекта Комптону. Таким образом.
138 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ [ГЛ. 7
нет необходимости заново вычислять следы, можно воспользоваться (7.72) и (7.73), произведя замену (7.77). Остается только избавиться от б-функции, учтя при этом кинематические соотношения в лабораторной системе отсчета:
+ k2- Р+ - Р-) =
ОО
= $1 W?i*,6[(p+ + p_y-2kl-(p+ + р_)]0(?+ + E_-kl) = о
Е++т
dQh f
= —\ kl dk[ 6 [2m2 + 2mE+ — 2k{ (tn + E+ — p+ cos 0)] =
