Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5fjs) = + (— ie)4 ^ d4w d4x d4y d4z iDp (x — w) iDF (y — z) X
X [Ц+) (x) уJSp (x — y) yJSF (y — w) (®)] X
X№7>(2)yV/+)(2)]- (8.3)
В пояснениях нуждается только выбор общего знака перед амплитудой (8.3). Он определяется требованием статистики
152
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
Ферми—Дирака, согласно которой два электронных состояния должны быть антисимметричными по отношению к перестановке электронов. Один из возможных способов упорядочения во времени четырех вершин диаграммы (а) показан на рис. 8.2 вместе с соответствующим вариантом для диаграммы (в).
Рис. 8.2. Возникновение, благодаря статистике Ферми, относительного знака минус между диаграммами рис. 8.1, а и 8.1, в.
Эти две диаграммы отличаются перестановкой электронных линий / и //. Относительный знак минус между (8.1) и (8.3) обеспечивает требуемую антисимметрию полного матричного элемента относительно перестановки двух тождественных фер-мионов. Член (8.3) имеет такой же знак, какой вносил в выражение (7.86) вклад аннигиляционной диаграммы (рис. 7.15,6) в низшем порядке.
Когда мы симметризуем амплитуду относительно перестановки двух фотонов, то оказывается необходимым включить также диаграмму вида (г); действительно, фотоны, входящие в вершины way на рис. 8.1, в, могли быть испущены и из вершин z и х соответственно. Это приводит к следующему члену 4-го порядка в 5-матрице:
5|']г) = -|- (— ie)A ^ dAw d4x d4y dAz iDp (x — у) iDp (да — z) X X [Ц+) M Y JSF (x — y) Y^iSp {y — w) Yv't)r) (да)] X
x№:i(2)vT(2)], (8.4)
который имеет такой же знак, что и (8.3).
Диаграмма (д) на рис. 8.1 отвечает такому процессу, когда рождающийся при аннигиляции фотон образует пару, которая,
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПОЗИТРОНОМ
153
прежде чем перейти в конечное состояние, вновь взаимодействует аннигиляционным образом. Те блоки диаграмм (в) и (д) на рис. 8.1, которые расположены выше вершины у, связаны между собой так же, как диаграммы рассеяния электрона на позитроне во втором порядке, изображенные на рис. 8.1. Поэтому естественно ожидать, что, как и в (7.86), вклады в 5-матрицу диаграмм (в) и (д) имеют противоположные знаки. Тогда для вклада диаграммы (<?) можно записать
5}га) = — (— ie)4 jj d*w cfx (fy d*z [^|+) (w) Y^r* (ш)] X
X iDp (w - x) [Y (У ~ XV y^iSF (* - У\а\ X
X iDF{y — z) [,ф;7) (z) Yv'4)(j+) (2)]- (8.5)
Независимый способ выбора общего знака в (8.5) состоит в задании соответствующего упорядочения во времени, как было сделано на рис. 8.2.
Требования симметрии и антисимметрии, которыми мы до сих пор руководствовались, приводят к дополнительному классу диаграмм; пример такой диаграммы приведен на рис. 8.3. Она возникает из диаграммы рис. 8.1, д в результате симметризации по двум фотонам. Действительно, фотон, входящий в вершину w, мог быть испущен как в 2, так ив! Такие несвязные диаграммы, т. е. диаграммы, содержащие полностью изолированную часть, которая не связана ни с одной из начальных или конечных частиц, не принималась во внимание в наших расчетах. Диаграмма на рис. 8.3 изображает электрон, распространяющийся до точки х\ там он испускает фотон и рассеивается обратно в точку у, где он уничтожает и себя, и испущенный
фотон. Пользуясь языком теории дырок, можно сказать, что такой процесс представляет собой флуктуацию, когда электрон, находящийся в море с отрицательной энергией, испускает виртуальный фотон и переходит в незанятое состояние с положительной энергией, а затем вновь поглощает испущенный фотон и возвращается в море с отрицательной энергией. Такие флуктуации происходят постоянно; происходящие в вакууме процессы служат фоном, по отношению к которому определяется амплитуда рассеяния. Мы отделяем вклад всех несвязанных «пузырей», которые вносят лишь некий фазовый множитель во все интересующие нас диаграммы.
Рис. 8.3. Пример несвязной диаграммы.
154
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
Дадим следующую сводку правил построения амплитуд процессов высших порядков:
1. Нарисовать все связные диаграммы.
2. Каждой диаграмме сопоставить амплитуду, причем каждой вершине сопоставить фактор
— г'еуц {j d^x.
3. Каждой внутренней линии с концами в вершинах хну сопоставить пропагатор iSF(x — у) или iDF(x — у) для фермиона и фотона соответственно. Для фотона ввести еще дополнительный множитель g^v, связывающий матрицы f и f в вершинах, соединяемых фотонной линией.
4. Ввести волновые функции для каждой внешней линии, т. е. линии, отвечающей падающей или рассеянной частице.
Эти правила совпадают с полученными ранее при рассмотрении низших порядков теории возмущений. Новым является лишь условие, согласно которому учитываются только связные диаграммы. Наконец, добавим еще правила относительно знаков:
5. Два члена, которые отличаются друг от друга перестановкой двух тождественных фермионов, имеют относительный знак минус. Для двух электронов с положительной энергией примером служит амплитуда (7.82), которой соответствуют изображенные на рис. 7.10 диаграммы, а для одного электрона с положительной и другого с отрицательной энергиями примером является амплитуда (7.86), которой отвечают диаграммы на рис. 7.12. Это правило приводит к дополнительному знаку минус в амплитуде (8.5), которой соответствует диаграмма с замкнутой петлей, изображенная на рис. 8.1,5. В общем случае множитель (—1) привносится в амплитуду каждой замкнутой фер-мионной петлей на диаграмме Фейнмана.
