Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из (7.59) видно, что энергетический спектр фотона имеет вид dk/k, поэтому вероятность испускания фотона с нулевой энергией бесконечно велика. Это явление называется «инфракрасной катастрофой». Для преодоления возникшей трудности необходим тщательный анализ экспериментальных условий, в которых наблюдается тормозное излучение. Суть дела состоит в том, что любой регистрирующий прибор имеет конечное разрешение по энергии, поэтому если он детектирует неупруго рассеянные электроны в некотором конечном интервале энергии, включающем точку k — 0, то он регистрирует также и упруго рассеянные электроны.
Для корректного сравнения с экспериментом необходимо учесть как упругое так и неупругое сечения, вычисленные в одном и том же порядке по е2. Поскольку вклад тормозного излучения (7.59) имеет порядок е2 по отношению к вкладу упругого рассеяния, необходимо учесть в том же порядке по е2 радиационные поправки к (da/dQf)ei. Последние содержат члены двух типов. Во-первых это члены, описывающие кулоновское рассеяние электрона во втором порядке; соответствующие диаграммы Фейнмана изображены на рис. 7.4, а, б. Во-вторых, необходимо
(7.59)
128 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. ?
учесть взаимодействие электрона с самим собой через поле излучения.
Фейнмановские диаграммы для этого процесса, приведенные на рис. 7.6, изображают виртуальный фотон, испускаемый электроном и вновь поглощаемый им же, вместо того, чтобы про-взаимодействовать с кулоновским источником (или протоном), как на рис. 7.4, а. Отвечающая этим диаграммам амплитуда содержит расходящийся член, который в точности компенсирует
расходимость в (7.59) при k = 0. Нам необходимо накопить достаточно опыта, прежде чем браться за решенне столь тонкого вопроса, как вычисление этой амплитуды.
Прежде чем закончить обсуждение формулы
(7.59), найдем еще сечение испускания Мягкого тормозного кванта в интервал энергии ДЕ, который не содержит в себе точку, соответствующую упругому процессу. Начнем с суммирования по поляризациям фотона, для чего воспользуемся весьма удобной техникой, предложенной Фейнманом [54]. Заметим, что точное выражение (7.57) для матрицы рассеяния обращается в нуль, если заменить поляризацию фотона на его 4-импульс №. Это свойство сохраняется также и в приближении мягких фотонов (7.59). Оно является следствием сохранения тока djll(x)/dxil = 0, которое в импульсном представлении выглядит как kllj^(k) = 0. Сохранение тока тесно связано с калибровочной инвариантностью электродинамики, поскольку в импульсном пространстве калибровочное преобразование имеет вид Av-(k)—*A^(k) -f- k^A(k) и добавочный член, пропорциональный не должен менять конечный результат.
Чтобы воспользоваться этим свойством, запишем
Рис. 7.6. Радиационные поправки к куло-новскому рассеянию.
(7.60)
и выберем систему координат, в которой № = (k°, k\ 0, 0), где kx—k° — k. Так как величина (7.60) является скаляром, ее можно вычислять в произвольной лоренцевой системе отсчета; в частности, мы выберем такую систему, в которой скалярный потенциал в (7.53) обращается в нуль, Д°(л:) = 0. В этой си-
§ 29) ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 129
стеме потенциал А(лг) поперечен и в соответствии с (7.54) и (7.55) можно задать две поперечные поляризации в виде
е<*> = (0, 0, 1, 0),
е(2) = (0, 0, 0, 1).
Суммируя (7.60) по поляризациям, имеем
Z e,evrv = У22 + У33 = У00 - Iй - Z УК.
pol ц=0
Поскольку, как отмечалось выше, kJilv==kvJ'xv = 0, то y0v = ylv,
/VO /Vi /00 ill
J —У и, следовательно, J = / . Отсюда получаем
Ее^У^-УК,
pol
где мы вновь вернулись к принятому ранее соглашению о сум-мировании. Сумма по поляризациям приобрела явно ковариант-ный вид. Полученная форма записи является весьма общей; она основана только на сохранении тока. Таким образом, если и bv — сохраняющиеся токи, т. е. k-a(k) — k-b(k)~ 0, то суммирование по поляризациям дает
Z [*> [k) a* (kj\ [ev (k) bv (&)] = — a ¦ b. (7.61)
pol
Применяя (7.61) к (7.59), получаем сечение тормозного излучения, просуммированное по поляризациям. Интегрируя по всем углам вылета фотона и энергиям в интервале 0 < ^
^ k Sg: kmах < получаем
Ь.
*тах
da ( da ^ а f ,, л ц С лг> Г 2pf 'pi т2 т2 1 dfy = ' к Lk-Pfk-Pi ~ (k'Pf)2 ~ ('b'Plf\ “
rain
_М?Л д ,п *-Л Г 20-PrPi)
\dQ)eln m kmtn ) 4я !_ (1 — ke ¦ Pf) (1 — - p()
________—------------------—-----"I (7 52)
Ef( l-k«.Pf)2 ?2(l-k*.P(.)2J’
где рг и р/— начальная и конечная скорости электрона, причем р, = = р в предельном случае мягкого фотона и рг-р/ =
