Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сечение рассеяния позитрона на электроне в системе центра инерции получается из (7.83) заменой (7.85) и вычислением следов, производимым так же, как для мёллеровского рассеяния. В ультрарелятивистском случае это дает
( do \ а2 Г1 + cos4 (0/2) 2 cos4 (0/2) . 1 + cos2 0 ] /-7074
WqJb- 8?2L sin4 (0/2) sin2 (0/2) 2 J ‘
§ 33. Поляризационные эффекты при рассеянии электронов
В качестве примера практического применения введенных в гл. 3 спиновых проекционных операторов вернемся к рассмотренному в § 26 сечению Мотта и проведем вычисления для случая поляризованного пучка падающих электронов. В гл. 10 мы увидим, что электроны, возникающие от распада (х-мезонов, поляризованы, причем их спины антипараллельны направлению движения.
Сечение кулоновского рассеяния электронов, имеющих импульс pi и спин Su причем Si-pi = 0, просуммированное по конечным спиновым состояниям ±5/, определяется формулой (см.
(7.11))
Ж = 4Z[2q|^~ Z I й (Pf> Sf) V°U (Pi> S«) I2' (7-88)
±sf
Для того чтобы при получении сечения по формуле (7.88) воспользоваться методрм взятия следов, введем согласно (3,19) и
144 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ |ГЛ. 7
(3.22) спиновые проекционные операторы
2(Si)u(pi, s.-)=«(pi, s,), (7-89^
2 (Sj) и (р,-, — s,-) = 0.
Повторяя переход от (7.13) к (7.14), получим ')
¦% = 4Z[2q2|?' Z {«(Pf, Sf)Yo2(Si)«(Pi,Si)}{«(Pi, Si)Yo«(Pf,Sf)} =
±Sf,St
-¦4Z2a2m2 ?pvf1+ ) (P< + OT)(ft + m) (7Ш
|q|4 2 J 2 m Yo 2m ‘ (Л9и)
Из (7.15) и (7.18) следует, что след, содержащий вектор спина,
равен нулю и мы вновь тем самым возвращаемся к формуле
Мотта (7.22). Полученный нами результат о совпадении сечений для поляризованного и неполяризованного начальных пучков справедлив только в наинизшем порядке теории возмущений, но в общем случае он неверен [64].
Приведем пример наблюдаемого поляризационного эффекта. Рассмотрим снова налетающий электрон, спин которого ориентирован вдоль направления движения, и вычислим поляризацию рассеянного электрона как функцию угла рассеяния. Начальный вектор поляризации Sj удовлетворяет условиям
s? = — 1 =(s?)2- s, • s, (7.91)
и
si ¦ Pi = 0 или s\ = Sj ¦
где
Рг = • (7.92)
Объединяя (7.91) и (7.92), имеем
|s* i—7—; (7-93)
V1 - (p.- • s02
здесь sf обозначает единичный вектор в направлении Sj. Электрон, спин которого направлен вдоль вектора называют правополяризованным с поляризацией siR. Для такого электрона имеем
= и
ls-«!=^=^ = -S-' = (7-94)
V'
*) Можно, конечно, ввести 2 (s) дважды — как в матричный элемент, так И р сопряженный к нему, но в этом нет необходимости.
§ 33]
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
145
Аналогично, электрон со спином, антипараллельным вектору рь называют левополяризованным с поляризацией siL = —Sm, и для него
Р* • SiL = - Pi
И
I Si?.| = S°iL~ P(|Si?.|-i
Такие же соотношения справедливы и для рассеянного электрона с той разницей, что всюду индекс i следует заменить на /. Векторы siR = —SjL с правой и левой поляризацией образуют очень удобный базис, которым мы в дальнейшем будем часто пользоваться. Собственные состояния оператора 2(s) (7.89), отвечающие собственным значениям s = ±sn = +S?„ называют состояниями с положительной и отрицательной спиральностя-ми [65].
Поляризация рассеянных электронов характеризуется величиной
Nd — N.
P-NfnrL’ (?-95>
где Nr означает число рассеянных частиц с положительной спи-ральностью (или с правой поляризацией), a NL— с отрицательной спиральностью (левой поляризацией). Величины NR, NL и Р являются, вообще говоря, функциями энергии и угла рассеяния.
Поляризация рассеянных электронов при кулоновском рассеянии правополяризованного пучка определяется согласно
(7.11) и (7.95):
Р 1 “ (Pf sfR) Уо» (Pf sir) I2 - I “ (Pf' sfL) Vo« (Pi- sm) I2 R I “ (Pf• SfR) Vo" (Pi siR) I2 + I “ (Pf sfL) Yo“ (Pi siR) I2
_ I Qn L + (h + „ (' + У5s!r) СPf + m) 1
tbp LYo 2 2m Yo 2 2m J
_ L (' + ysgi/?) (Pi + m) „ 0 ~ У5sfR) (Pf+ln) 1 1 w
LYo 2 2m Yo 2 2m J /
X {Sp [v, h+.a Ta й+^] }" -
n Г ^ 0е* + m) « (Pf + m) 1 SP [y0Y,5S(R 2m УоУ^Л1 2m J
с L (Pi + m)„ (Pf + m) 1
P LVo 2m Yo 2m J
