Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Y11 ---------------Y
2т
(Р\ + т)
Pi)2]2
V)~
Sp
(Р[ +
\ 2 т
+ т р, + т
Уц— „ ' Yv
2т
)
X
X
2т
2т
Yv
(Р2 + т) ц (f>2 + m)
2т
*]
+ (р/1*-*Р/2)}ЬЧР1+Р2-Р1
2т
р2) d3p\ d3p'2,
+
(7.83)
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА И ПОЗИТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
141
где Е обозначает энергию, а |3— скорость каждого из электронов в системе центра инерции.
Обратите внимание на то, что в качестве относительной скорости начальных электронов в системе центра инерции фигурирует величина 2р. Для релятивистских электронов ее предельное значение равно удвоенной скорости света. Здесь нет никакого » противоречия со специальной теорией относительности, поскольку скорость каждого из электронов в системе отсчета другого не превышает скорости света. Символ означает
два дополнительных члена, которые получаются из первых двух в формуле для da путем взаимной перестановки р[ и р2.
В формуле (7.83) вклад от интерференции между прямым и обменным членами содержит только один очень длинный след. На рис. 7.11 дано графическое представление квадратов матричных элементов в форме замкнутых петель. Разница между
Рис. 7.11. Графическое представление квадратов матричных элементов для рассеяния электрона на электроне. Кружки на линиях показывают на отсутствие фактора (р2— т2)~1.
прямым и обменным членами состоит в том, что первый содержит две петли и два следа, а второй — одну петлю и один след. Иногда такие диаграммы бывают полезны для установления порядка индексов |х, v и выписывания спинорных факторов.
Вычисление следов в формуле (7.83) производится с помощью теорем, приведенных в § 26. В частности, теорема 5 позволяет упростить след из восьми матриц у в интерференционном члене. Например, переходя для простоты к релятивистским энергиям Е т и пренебрегая членами, пропорциональными т2, получим
SP = - 2 Sp (p'^hp^p'z) =
= - 8р, • р2 Sp р[р'2 = - 32 (р, • р2) (р\ ¦ р'2).
Дифференциальное сечение, выраженное через энергию в системе центра масс Е и угол рассеяния 0, имеет вид Г do \ а2 р + cos4 (0/2) , 2 , 1 + sin4 (0/2)1 п 0^
“8?Ч sin4 (0/2) ^ sin2 (0/2) cos2 (0/2) ^ cos4 (0/2) J ’ ^ -OH)
142 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
где первое и третье слагаемые представляют собой квадраты матричных элементов для двух диаграмм, изображенных на рис. 7.10, а второе слагаемое дает вклад от интерференции этих диаграмм.
При получении этого результата были использованы следующие кинематические соотношения: рх • р2 = р[ • р2 = 2Е2, р\р2 = =/?, • р'= 2?2 cos2 (0/2) и /?, • /?| = р2 • р2 = 2Е' sin2 (0/2), которые справедливы, если пренебрегать членами порядка т2. Выражение (7.84) есть ультрарелятивистский предел формулы Мёллера [58] в системе центра инерции.
Обратимся теперь к рассеянию позитронов на электронах. В силу кросс-инвариантности можно получить сечение из формулы Мёллера заменой, анало-_?г' гичной (7.77). Диаграммы Фейн-i мана для этого процесса, известного как рассеяние Баба [63], изображены на рис. 7.12.
Путем замены
Pi
Р-Р/'
Pi
-?1
-?1
(а)
Рис. 7.I2. Рассеяние электрона на позитроне.
РГ Р\~ /У Р 2 "
Р U ¦p'v
?!
(7.85)
и изменения общего знака в соответствии с (6.56) получаем амплитуду рассеяния позитрона на электроне
Sfi =
2 2 е т
I
V2 (Е Е ,Е Е ,)'к
• » (р{) (~ %) и (Pi) у (<?i) (~ «У*) о (<?Q
(р,-Ю2
— I
, (- ] (2я)<(р, +
(Pi + Я i)2
(7.86)
Первый член описывает прямое рассеяние; он аналогичен первому члену в амплитуде рассеяния электрона на электроне
(7.82). Аннигиляционный член соответствует второму, обменному члену в (7.82). Знак минус между двумя членами возникает вследствие перехода из (7.82) заменой согласно свойству кросс-симметрии.
Антисимметрия амплитуды (7.82) по отношению к перестановке двух начальных либо двух конечных электронов превращается в (7.86) в антисимметрию между входящим электроном
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
143
с положительной энергией (р\) и «входящим электроном» с отрицательной энергией {—я\), движущимся назад во времени, либо между выходящими электронами р[ и —qr Чтобы дать интерпретацию этой антисимметрии в терминах теории дырок, заметим, что до взаимодействия начальное состояние содержит электрон р 1 с положительной энергией и море состояний с отрицательной энергией, заполненное, за исключением дырки, в состоянии с отрицательной энергией —q\. В частности, это море содержит электрон с отрицательной энергией в состоянии — q\, поэтому согласно статистике Ферми начальное состояние должно быть антисимметричным по отношению к перестановке р{<7'; подобные рассуждения применимы и к конечному состоянию. Антисимметризация должна быть произведена также по всем остальным частицам из моря, но, поскольку они не фигурируют в (7.86), форма этого выражения никак не меняется от такой антисимметризации.
