Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
da _ ___________ШЗ._______I ТО 12 — 1
dQ' 4я2 1 + (2Е/М) sin2 (0/2) 1 f‘ 1 ’ Е ^ '
Вычисляя в этом предельном случае |2ГС/г|2, удобно записать Ру в виде Pf — Pi -f Pi — pf, что дает
I i2 = tt2P> • Pf p‘' P‘ + p*' Pf • P‘ ~ p‘ • Pf ~ M2K =
=----------------------("2 + 2sin2— f——-------01 =
m216?2?,2sin4 (0/2) L 2 V 2 M2 J J
я2а2 ( ,0 q2 . o0\ я* „ i
— m2EE' sin4 (0/2) lC0S T W2"Sin Tj’ IT ^ '
где q2 = (Pf — pi)2 = —AEE' sin 2 (0/2).
Таким образом, дифференциальное сечение равно
da _ a2 cos2 (0/2) - (<72/2М2) sin2 (0/2) т .
dQ' АЕ2 sin4 (0/2) [1 4- (2Е/М) sin2 (0/2)] Е U-40)
Здесь мы воспользовались соотношением (7.45) в пределе
т2 -> 0:
Е'Е (1 — cos Q) = М(Е — Е').
Формула (7.45) получена в предположении, что по своим свойствам протон представляет собой тяжелый электрон с массой М Однако такое описание является неполным, поскольку оно не учитывает структуру протона и его аномальный магнитный момент, т. е. свойства, имеющие мезонную природу. Более
120 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
полное описание протона требует изменений в формуле (7.46), которые становятся существенными при высоких энергиях, превышающих несколько сотен Мэе. Мы еще вернемся к этому вопросу в гл. 10.
§ 28. Поправки высших порядков к рассеянию электронов протонами
Проведенное рассмотрение рассеяния электронов протонами справедливо только в наинизшем неисчезающем порядке по е2. Чтобы получить поправки следующего, более высокого порядка по е2, мы должны вернуться к выражению (6.57) и рассмотреть амплитуду второго порядка по взаимодействию между электроном и протоном. Она дается выражением
Sf? = — ie2 ^ d4x dAy $f(x)A (x) SP (x — у) А (у) г|зг (у), (7.47)
где, как и прежде, электромагнитный потенциал создается током протона. Чтобы установить форму этого тока, посмотрим, каков вид тока электрона во втором порядке. Формула (7.47) описывает взаимодействие этого тока с ^(х) и Av(y). Как и в первом порядке (см. 7.35)), амплитуда Sff должна быть симметричной по току электрона и протона. Ток электрона во втором порядке имеет вид
'Ч/ м yuSF (х — у) Yv-ф; (у) = U) Yu { Z 0Uo — //о) Ф* М'М'/) —
In; Ро>0
Z в (г/о — -*Со) -ф„ (л:) (^) \ Yv^i (г/)-
п : Ра < 0 )
Множитель / необходим для того, чтобы ток во втором порядке можно было представить как линейную комбинацию произведений двух токов перехода. Опираясь на подобные наводящие соображения, запишем, следуя (7.31),
\ (х) Av (у) = е'р jj dAw d4z DP (x — w) DP (y — z) ф’ (w) yu X
x( Z 0К-2о)^и^(г)-
Ч n\ po> 0
= ie2p Ij d4w d4zDF(x — да) DF (y — z) oj)fp (w) у^рр (w — z) yv^• (2). (7.48)
Здесь DF(x — w)DF(y — z) представляют собой фейнмановские пропагаторы для двух внешних фотонных линий, изображенных ца рис. 7.4,о.
Поправки к рассеянию электронов npotoHAMH
121
Фотоны распространяются между электронной и протонной вершинами, изображенными в виде точек, которым отвечают факторы еух и еруа соотве1-ственно. Внутренним электронной и протонной линиям соответствуют фермионные пропагаторы
е%г ер?А
х fv\/\/v\/vv\/>4
Df(x-w)
SF(x-y)
е7ч ePrv
у\\y\y>y\zv\rv\/\t
s?p\w-z)
(a)
(6)
(»)
Рис. 7.4. Вклад четвертого порядка в электрон-протонное рассеяние.
Sf(x — у) и Sf(w — z). Таким образом, мы имеем пример соответствия между диаграммами Фейнмана и элементами S-матрицы, записанными в координатном представлении. Чтобы получить полное выражение для Sff, необходимо добавить в протонный ток еще один член, отражающий неразличимость двух фотонов. Электрон, взаимодействующий с фотоном в точке х, не различает, испустился ли этот фотон из точки w или г, и наряду с процессом, изображенным на рис. 7.4, а следует учитывать процесс, показанный на рис. 7.4, б.
122 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЁНИЙ [ГЛ. 1
Фотонные фейнмановские пропагаторы обеспечивают распространение вперед во времени только положительных частот. Однако взаимодействие содержит все различные упорядочения четырех точек х, у, w и г во времени, и фотон в точке w может быть как первым, так и вторым испущенным или поглощенным электроном.
Для симметризации переменных двух неразличимых фотонов, которыми обмениваются электрон и протон, мы добавим к (7.48) член
ie], ^ d*w d4z DF (x — z) Dp {y — да) (да) yySp (да — z) (г). Тогда (7.47) принимает вид
S}?* = ее\ jj d4x dhy d4w d4z (x) y^Sp (x — y) yv^ (у) X
X {Df (x — да) DF (y — z) (да) y^SPF (да — z) yvi|j? (z) +
