Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= р2 cos 0/ для рассеяния на угол 0/. Интегрирование двух последних членов в (7.62) производится элементарно:
13о
ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 1
Первый интеграл легко берется с помощью другого приема, также введенного Фейнманом [54]. Он состоит в параметризации подынтегрального выражения путем дополнительного интегрирования согласно формуле
ab
о
Применение этого приема дает
г dQk
) 4я (1 -ke-pf)(l -k'-p,)
I
= 2(l-PrP,) JrfJcJ dQk
4л [1 -k'-(p^ + p.(l -*))]> 1
= 2(1 - pf ¦ РЛ Jrfjc , _ [pfJC _|_ p. (i _ Jc)j2 =
1
= 2(1 — p2cos0) ^ 5
P2 + 4p2 sin2 (0/2) x (1 -*)] ~
2(l +-ip2sin2}) + 0(p4), p<l,
2|пЙ + °(7)' ф = (Pf — pjf » — 4?2 sin2.
Таким образом, сечение тормозного излучения мягких квантов равно
da / da \ 2а. femax [ 3~ ^sin2 ~2 ^ 0
dQf I dQ Jel я П *mln j ln ^ _ i + Q ^ ' ER_ (7-64)
здесь первое выражение справедливо для нерелятивистских (NR), а второе для ультрарелятивистских (ER) электронов. Чтобы получить конечный результат при &mll] -> 0, формулу
(7.64) необходимо объединить с формулой для радиационных
поправок к
Г—)
Ч dQ )е, •
§ 30]
КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
131
§ 30. Комптоновское рассеяние
Теперь мы можем рассмотреть взаимодействие с полем плоской волны (7.53) во втором порядке. Пусть (7.53) описывает начальный падающий фотон, который поглощается электроном в одной вершине, а
описывает конечный фотон, испускаемый в другой вершине. Этот процесс называется комптоновским рассеянием. Он происходит на свободном электроне с сохранением энергии и импульса
Амплитуда комптоновского рассеяния во втором порядке отличается от (7.56) тем, что она содержит yilA*l(Z, k') вместо У(Иоул. Подставляя (7.53) и (7.65) в S-матрицу второго порядка и переходя с помощью преобразования Фурье к импульсному представлению, получим
Соответствующие диаграммы Фейнмана изображены на рис. 7.7. В (7.67) опущены три добавочных члена, которые отличаются
либо знаком k, либо kлибо, наконец, знаками k и k'. Два из них обращаются в нуль, поскольку содержат четырехмерную
6-функцию, налагающую следующие условия на 4-импульсы:
которым невозможно удовлетворить. Эти условия соответствуют кинематически запрещенному процессу распада свободного
(7.65)
k + pi — k' 4- pf.
(7.66)
(7.67)
к, s 11 Pit si Pi, Si
Рис. 7.7. Комптоновское рассеяние.
132
ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
электрона на свободный электрон и два фотона. В третьем члене с переставленными к и к' требуется выполнение условия k' + -j- pt = k + Ри которое отвечает переходу фотона в результате рассеяния из начального состояния с 4-импульсом к' в конечное с 4-импульсом к. Это кинематическое условие не может быть выполнено совместно с (7.66), поэтому данный член также должен быть отброшен. Оставленный в (7.67) член возникает из слагаемого e~ik'x в (7.53), которое отвечает поглощению в точке х фотона с 4-импульсом и из слагаемого e+ik'’x в
(7.65), соответствующего испусканию в х' фотона с 4-импульсом k'.
Заметим, что выражение (7.67) для S“°MnT симметрично относительно перестановки
Это свойство известно как кросс-симметрия. Данная симметрия является точной во всех порядках по взаимодействию [50]. Она играет важную роль в физике элементарных частиц.
Вычисление сечения комптоновского рассеяния производится по уже знакомой нам схеме; единственная серьезная трудность заключается в спинорной алгебре. Сечение рассеяния da получается возведением амплитуды (7.67) в квадрат, делением ее на (2л)464(0), в результате чего получается скорость перехода, делением на поток падающих частиц |v|/V и на число частиц в единице объема мишени 1 /V и, наконец, суммированием по фазовому объему [V2/(2n)6]d3Pfd3k':
В лабораторной системе, в которой электрон покоится, величина т/кЕ( [ v | есть просто l/k. Интеграл по импульсу электрона отдачи и по телесному углу рассеянного фотона dQk', в направлении угла рассеяния 0, в лабораторной системе вычисляется с помощью равенства (7.40):
k, е — к', е'.
da
X й (pf, sf) (ё' л -----7------е' \uipi, s^ . (7.68)
\ Pi + k — m pt — k — т )
ОО
ОО
= т dQk- ^ к' dk' 6 [(? + р{ — к')2 — т2] 0 [k + т — k')
о
/е+т
— mdQ.kf ^ k'dk'6[2m{k — k') — 2kk'(\ ^cos0)] = dQk', (7.69)
