Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
+ DF {x — z) DF {у — да) (да) yvS? (да — z) y’Spf (г)}. (7.49)
Оба члена в (7.49) удовлетворяют одним и тем же правилам получения элементов S-матрицы в координатном представлении из соответствующих диаграмм Фейнмана.
Заметим, что сформулированные нами правила содержат пока неясность1) в отношении множителей г. Мы сопоставляли
S-матрице общий множитель (—i) и, кроме того, записывали протонный пропагатор SPF с множителем г. В высших порядках всем протонным пропагаторам Sf будет приписываться множитель i по тем же причинам, что и в разобранном примере. Можно ввести единое правило для всех фермионных пропагаторов, если сопоставлять iSp каждой электронной линии, а каждой величине А приписывать множитель (—г), т. е.
— ieASpeASp ... еЛ = (— ieA) iSF (— ieA) .. . (— ieA).
Тогда общий множитель (—i) войдет в лишнюю (по сравнению с SF) величину А. Таким образом, каждой вершине на электронной линии мы приписываем фактор (—г). Можно также сопоставить (—г) каждой протонной вершине, если компенсировать этот множитель фактором г перед каждым фотонным про-пагатором DF. Тогда мы получаем единое правило относительно множителей г: (—г) отвечает каждой вершине, a i — каждой линии на диаграмме. В дальнейшем мы будем следовать этому правилу.
Для практических вычислений удобно перейти к импульсному представлению. Для этого применим преобразование Фурье ко всем фигурирующим в формуле (7.49) величинам. Предпола-
*) Для устранения возможных сомнений относительно общего множителя, равного 2, рекомендуется решить задачу 2 в конце этой главы.
§ 28] ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОТОНАМИ 123
гается, что волновые функции внешних частиц (т. е. начальных и конечных электронов и протонов) являются плоскими волнами, как в (7.2), (7.3) и (7.34). Тогда, например, первый член в (7.49) перейдет в
е4 [ d4x d'y d'z d*w л А d'q' diq>dip diP e-iq'<x-w)
J у у & ft
\/
V‘ J " " " " " " ' 'V EiEi V &\&i (2я)4 (2я)4 (2я)4 (2n)4 q] + ie
-iq2-(y-z) Г . -ip-(x-y) ~l
epf tl(pf, sf) Yu-----------------—— YvW (Pi, st) e I
L p — m + iz J
<72 + /e
X
|>f ”«(/>,, Sf)Yu ftP'MW~Z- VVP,-. (7.50)
L P — Af + ге J
Проведем интегрирование по всем пространственным координатам. Интегрирование по каждой из пространственных координат дает множитель (2я)4 и б-функцию, выражающую сохранение энергии-импульса в вершине, отвечающей этой координате. Далее можно проинтегрировать по импульсам; в результате (7.50) примет вид
*¦ л/ткл/^к{2п)'ь'(р'+р,~р,~р^ ‘*
V2 Л/ Е.Е, Л/ ‘ J (2я)4 q? + ie
X
т-----* , . Гu(pf, Sf)ya—---------;—^-----r^YvWfp,', s,)l
(q — q,)2 + ге |_ ' Г ^ Р; ~ <7, — m + ге rv ‘ J
хГй(Р;, w s ^ , 1 w . Yv» (pi, s()l, (7.51)
L Pf + q\ — M + 18 J
где, как и прежде, q = Pf — Pi.
Обратите внимание на б-функцию, отражающую общий закон сохранения энергии-импульса, и на интегрирование по 4-им-пульсу <7ь текущему вдоль замкнутой петли фейнмановской диаграммы в импульсном представлении, изображенной на рис. 7.4, в. Множители (2я)4 сократились, за исключением одного, стоящего при четырехмерной б-функции, и компенсирующего его множителя (2я)~4, входящего в интеграл по d*q\.
Можно установить соответствие между всеми остальными выражениями, входящими в (7.51), и фейнмановской диаграммой подобно тому, как это было сделано для диаграммы низшего порядка, показанной на рис. 7.3. Каждая вершина вносит множитель—i?Yn> а каждая внешняя частица — множитель л/m/Е. Новым здесь является фактор i[p — т + te]-1, который в матричном порядке ставится между вершинами и представляет собой пропагатор, относящийся к виртуальному промежуточному фер-миону.
Достаточно небольшого опыта, чтобы научиться, глядя на заданную диаграмму Фейнмана, сопоставить ей выражение типа
124
ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ [ГЛ. 7
(7.51). Амплитуда диаграммы Фейнмана, изображенной на рис. 7.4, г, отличается от (7.51) заменой блока, относящегося к протону, на
u(Pf,Sf) .-VW<, St). (7.52)
Pi — Qi — M -f IE
Окончательное вычисление амплитуд (7.51) и (7.52) не является тривиальным; оно требует проведения сложного четырехмерного интегрирования. В статическом пределе, когда протон рассматривается как точечный кулоновский источник, интеграл был вычислен Далицем [60]. В этом случае возникают трудности, связанные с бесконечным радиусом кулоновского взаимодействия. Мы не будем проводить дальнейших вычислений.
