Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(7.96)
Мы снабдили поляризацию Pr индексом, который указывает на То, что начальный пучок был полностью правополяризован.
146 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Как и в (7.90), все члены, линейные по siR либо по SfR, исчезают. След в знаменателе уже вычислялся ранее и дается выражением (7.21); числитель упрощается путем «протаскивания» матриц у5 друг к другу и применения (7.17). После простых преобразований и подстановки (7.94) получаем следующий результат:
р — J ___Г___2вд2 sin2 (8/2)_______"j q_,
R L E2 cos2 (6/2) + tn2 sin2 (0/2) J '
В ультрарелятивистском пределе, когда m/?0, или Р~>1,
имеем PR-> 1, т. е. в пределе высоких энергий кулоновское рассеяние не приводит к деполяризации начальных электронов.
Если начальный пучок был не полностью, а лишь частично поляризован вдоль направления движения, можно ожидать, что результат (7.97) перейдет в
P = pPR. (7.98)
Здесь р означает поляризацию начальных электронов, т. е.
P = Pr — Pl,
где pR есть доля электронов с положительной спиральностью, a Pl — 1—Pr — доля частиц с отрицательной спиральностью. Чтобы убедиться в справедливости (7.98), заметим, что выражение (7.96) линейно по спиновым проекционным операторам начального и конечного электронов. Поэтому с помощью равенства
_ * + , _ l-V6stR
Pr—2--------H Pl-----g---—--------------2-
получаем требуемый результат
P = p\l__________2m2 sin2 (m____________] 7 99)
P I E2 cos2 (0/2) + m2 sin2 (0/2) J ' <• ‘
В частном случае p = 0 формула (7.99) показывает, что непо-ляризованный начальный пучок остается неполяризованным в результате кулоновского рассеяния.
Полученным результатам можно сопоставить наглядную геометрическую картину. Определим следующим образом угол а между направлением спина движущегося электрона, описываемого спинором u(p,s), и произвольным направлением, задаваемым единичным вектором п** == (0, п):
, ч и+ (р, s)a-nu (р, s) cos а з= (а • п) =-х-,——7-==
' ' и+ (р, S) и (р, s)
-= Vl — Р2«(р, s)y5nu(p, s), (7.100)
где р = р/?.
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
147
Для вычисления матричного элемента (7.100) мы вновь введем проекционные операторы и воспользуемся методом взятия следов. Тогда с помощью (7.93) получим
cos а = V1 - Р2 Sp (?-JrL) (-Ld?L) =
= Vl — p2 s • n = /уД ~ P&g)2 sg • n. (7.101)
Отсюда видно, что если se и р перпендикулярны, то |cosa|^ V1 — Р2- Следовательно, в состоянии со спином, перпендикулярным скорости, среднее значение спина, определяемое выражением (7.100), обращается в нуль при р->1. С другой стороны, для случая, когда спин s направлен вдоль скорости, т. е. для спиральных состояний, получаем
cosa = se • n (7.102)
и проекция спина на направление п, параллельное либо анти-параллельное s, равна ±1. Обозначая в этом случае a = б, имеем
cos6 = ±l. (7.103)
Среднее значение cos а для пучка рассеянных электронов дается выражением
(cosa)= X w (р, s) cosa, (7.104)
±S
где w(p,s) есть вероятность перехода в заданное конечное состояние с импульсом р и спином s. Сумму в (7.104) проще всего вычислить, просуммировав по двум спиральным состояниям. Для проекции спина на направление движения из (7.103), (7.104) и (7.95) находим
<cos6) = w(sR, p) — w(sL, р) = Р. (7.105)
Таким образом, поляризация определяет косинус угла между векторами спина и импульса. Для кулоновского рассеяния поляризованного начального пучка электронов с р— 1 из (7.105) и (7.99) получаем в пределе больших энергий, Е т, или малых углов рассеяния, 0 <1,
(7.106)
т. е. угол между векторами спина и импульса рассеянного пучка составляет равную т/Е долю от угла рассеяния [66].
Расчеты поляризационных эффектов в ультрарелятивистском случае проще всего проводить, предварительно упростив поляризационные проекционные операторы в пределе т/Е-> 0. Покажем, как упрощается в этом предельном случае
148 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
поляризационным проекционный оператор для продольно-поляризованных электронов со спином s, параллельным импульсу р. Из (7.93) и (7.94) имеем
s,= • VIZE
т§ р Р в т
при р->1. Отсюда для проекционного оператора получаем
Аналогично
(^Х^М^Х^)- я-т
Дальнейшее упрощение в (7.107) достигается путем перехода к ультрарелятивистскому пределу в энергетическом проекционном операторе. Ранее из формулы (7.99) мы заключили, что в пределе т/Е-+ 0 кулоновское рассеяние не приводит к деполяризации электронов. Теперь этот результат может быть получен совсем просто. Найдем амплитуду рассеяния для случая, когда начальный релятивистский электрон имеет правую поляризацию
