Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
о
= TV ,mF{m + E+) dQkl. (7.79)
4 (tn + E+ — p+ cos 0)2 1 v '
Подставляя результаты вычисления следов и интегрирования по фазовому пространству в (7.78), получаем сечение аннигиляции пары, выраженное через энергии и углы в лабораторной системе:
d° _____________аг (т + Е+) Г , . , ,2 _ 1 _
dQki 8р+ (т + Е+ — р+ cos 0)2 ki k2 ' ' 1 2‘ J
_______а2 (т + Е+)_______v
8 р+ (т + Е+ — р+ cos 0)2
[Е, — p. cos 0 т „1
~т-----+ + 2 - 4(е, . е2Г\, (7.80)
где в соответствии с налагаемыми в (7.78) и (7.79) кинематическими ограничениями
и __ т(т + Е + )
1 т + Е+ — р+ cos в
И
Е. — р, cos 0 k2 = m-\- Е+ — k \ =--------—-------k\.
Полное сечение получается суммированием da/di1kt по поляризациям конечных фотонов и интегрированием по телесному углу dQkПоследнее требует определенной осторожности, поскольку конечное состояние содержит две тождественные частицы. Формула (7.80) означает, что один из фотонов испускается в элемент телесного угла dQk,', вследствие их неразличимости это может быть любой из двух фотонов. Если бы мы проинтегрировали da/dQk, по всему телесному углу 4я, мы учли бы
§ 32]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА И ПОЗИТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
139
каждое различимое состояние дважды. Поэтому при вычислении полного сечения мы возьмем половину этого интеграла
Из (7.81) и (7.80) нетрудно получить полное сечение в пределе низких и высоких энергий: если р+->0, то ki->—кг и усреднение по поляризациям дает (егег)2—*¦ 1/2; следовательно1),
где в ведущий член вносят равные вклады первые два члена в (7.80), а сумма двух других членов в (7.80) имеет фактор малости т1Е+. Впервые этот результат был получен Дираком в 1930 г. [62].
§ 32. Рассеяние электрона и позитрона на электроне
Рассеяние электрона электроном описывается почти так же, как рассеяние электрона протоном. Однако в первом случае имеется дополнительная диаграмма, возникающая вследствие тождественности электронов. Две диаграммы для рассеяния электрона электроном изображены на рис. 7.10, там же указана необходимая кинематика. Соответствующая амплитуда рассеяния, аналогичная амплитуде (7.35) для электрон-протон-ного рассеяния, имеет следующий вид (спиновые индексы опущены):
Разные относительные знаки первого и второго членов обусловлены статистикой Ферми, согласно которой амплитуда должна быть антисимметричной относительно перестановки двух конечных электронов. Она, кроме того, антисимметрична относительно
*) При р+ -*¦ 0 это приближение для а является плохим. Плоские волны для электрона и позитрона следует заменить кулоиовскими волновыми Функциями.
(7.81)
В ультрарелятивистском случае имеем
(7.82)
140 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
перестановки начальных электронов, что также соответствует требованиям статистики.
В силу аналогичных аргументов амплитуда рассеяния двух тождественных бозонов должна быть симметричной относительно перестановок как начальных, так и конечных частиц. Примером может служить изображенная на рис. 7.8 амплитуда аннигиляции электрон-позитронной пары, которая, как мы видели, симметрична относительно двух фотонов.
Мы не ввели в формулу (7.82) никакого добавочного нормировочного множителя типа 1 /д/2 или 2, связанного с появлением обменного члена. Присутствие тождественных частиц в начальном или конечном состоянии не влияет на правила получения дифференциального сечения из амплитуды Sfi. Надо, однако, помнить о множителе 1/2 в формуле
(7.81). Если в конечном состоянии имеются две тождественные частицы, этот множитель должен быть включен в интегрирование по углам при получении полного сечения. Для тождественных частиц в начальном состоянии никаких дополнительных множителей не появляется, поскольку начальный поток не меняется.
Рассеяние электрона на электроне дает нам простой и ясный пример справедливости этого правила. Для рассеяния вперед с малой передачей импульса (р1 — /?')2 можно пренебречь вторым, обменным членом в (7.82). В этом предельном случае амплитуда сводится к комптоновской — результат, который не зависит от статистики.
Выражение для дифференциального сечения рассеяния не-поляризованных электронов получается из (7.82) обычным способом. В системе центра инерции дифференциальное сечение равно
Pi Pt P2 ! Pt
l/VA/X/5 ' i
Pi-Pi Pi-Pi
Pi ‘Рг Pi P2
Рис. 7.10. Рассеяние электрона на электроне.
da —
(2я)2 ?4 (2р)
Н{
[Ov
,+ т
Х4-2т
Г (р',+т) XSp[W-----L
р2 + т