Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 29. Тормозное излучение
Может оказаться, что один из двух квантов, участвующих в обмене, изображенном на рис. 7.4,8 и г, удовлетворяет условию Эйнштейна q2 — 0. Тогда он может быть испущен в виде свободного излучения, называемого тормозным. Для изучения влияния, оказываемого таким взаимодействием с полем излучения на процесс рассеяния, мы вновь воспользуемся эвристическими соображениями, близкими к приведенным в книге Шиф-фа [22]. Это позволит без большого труда получить полезные результаты, совпадающие с теми, которые получаются на основе строгого квантового рассмотрения излучения, излагаемого в [50].
Четырехмерный потенциал «фотона» с 4-импульсом kn и поляризацией е11 записывается в виде плоской волны
Л11 (х, k) = {e~lk'x + elk'x), (7.53)
где = 0. е^1 является единичным 4-вектором поляризации,
удовлетворяющим условию поперечности
= 0. (7.54)
Существует лоренцева система отсчета, в которой является чистым пространственноподобным вектором, т. е. е^=(0, е),
?.?=1; в произвольной лоренцевой системе 4-вектор е^1 про-
странственноподобен и нормирован условием
ецец = -1. (7.55)
Нормировочная постоянная в (7.53) выбрана так, что энергия волны равна (о = ^о = |к|- Чтобы убедиться в этом, вычислим
U = ± J d3x (Е2 + В2) = J d3x В2.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
125
Поскольку
в = rot А = / VkjWke X 8(e~ihx - eikx) = л/Щ7ке X е sin ? • л: и, согласно (7.54) и (7.55),
ке X в • ке X 8 = » • 8 — (ке • е)2 = е • г — (е0)2 = + 1,
имеем
U = -у- ^ d3* sin2 (со^ — к • х) = k — со.
Рассмотрим амплитуду рассеяния, описывающую излучение такого «фотона» во время рассеяния. Для простоты вернемся к статическому приближению, заменив протон статическим ку-лоновским полем, как в (7.4), и найдем S/i в наинизшем неисчезающем порядке по е.
Диаграммы Фейнмана для этого процесса, изображенные на рис. 7.5, отвечают процессу второго порядка. Одна вершина соответствует взаимодействию электрона с кулоновским полем, а
Рис. 7.f. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле.
другая — испусканию тормозного кванта. Испускание излучения в первом порядке в отсутствие внешнего поля запрещено законом сохранения энергии и импульса: k2 = О Ф (Pf — р,)2 < 0.
Во втором порядке элемент S-матрицы имеет вид
Sft = е2^ d\ d1 у ipf (х) {— iA {х, к) iSF {х — у) (— iy°) Л?ул (у) -f
+ (— iY°) ЛКУЛ М iSF (х — у) [— (А (у, /г)]} фг (у), (7.56)
где
а два члена соответствуют различному порядку расположения вершин, как показано на рис. 7.5.
Как обычно, удобно перейти в (7.56) к импульсному представлению, произведя фурье-преобразование всех входящих в
126
ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ |ГЛ. 7
эту формулу величин и проинтегрировав по пространственным координатам. В результате этой, теперь уже привычной нам операции получаем
где q = Pf -\-k — pi. Имеется еще дополнительный вклад от первого члена в (7.53), содержащий б-функцию б (Ei-\-k — Ej). Этот член описывает поглощение энергии в процессе рассеяния и не дает вклада в рассматриваемый нами процесс, в котором налетающий электрон передает энергию полю излучения и испускается с энергией Ef = Et — k<lEi. Отметим новую черту, появившуюся в (7.57), которая пополняет наши растущие знания о фейнмановских амплитудах: вершине испускания свободного фотона с поляризацией ец соответствует множитель (—ie) и фактор \j-\j2kV возникает как нормировочный множитель фотонной «волновой функции».
Сечение тормозного излучения можно получить из S-матрицы (7.57). Мы ограничимся предельным случаем &->0, т. е. испусканием очень мягкого фотона. Более общий результат, известный под названием формулы Бете — Гайтлера, можно найти
з большинстве других учебников. В нашем предельном случае выражение в квадратных скобках в формуле (7.57) принимает вид
где мы пренебрегли величиной &->0 в знаменателе и на последнем этапе воспользовались свойствами (3.9) дираковских спиноров. В пределе А-*-О матричный элемент тормозного излучения содержит амплитуду упругого рассеяния в качестве сомножителя. Чтобы вычислить сечение, мы берем из (7.57) и (7.58) квадрат модуля S/*, делим его на поток |v|/F и на 2лб(0) и по-
(7.57)
5 29]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
12?
лучаем скорость перехода, а затем производим суммирование по конечным состояниям (V2 d3k d3pf) / (2л)6, лежащим в интересующей нас области фазового пространства. Для неполяризо-ванных электронов требуется также просуммировать по конечным и усреднить по начальным спиновым состояниям электрона. В итоге получаем
Выделяя члены, соответствующие упругому рассеянию (7.11), находим
Это сечение соответствует тому, что электрон окажется в телесном угле dQf, а фотон с поляризацией е будет испущен с импульсом к, лежащим в интервале dQi,dk. Таким образом, сечение рассеяния с испусканием мягкого фотона разбивается на два множителя, один из которых есть сечение упругого рассеяния электрона при той же энергии и в тот же телесный угол.
