Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
= ?о + V + 2A(cos kxb + cos kyb + cos kzb).
(57.54)
Соотношение (57.54) показывает, что уровень ?о, который в пренебрежении взаимодействием Vnn> имеет бесконечную кратность вырождения, при учете этого взаимодействия превращается в непрерывную полосу
?о Н- У — 6|^4| ^ Е ^ ? о -\-V -\- б|А|. (57.55)
До сих пор мы рассматривали бесконечный кристалл. В действительности количество атомов в любом реальном кристалле хотя и очень велико, но конечно. Это число определяет кратность вырождения уровня ?о в пренебрежении взаимодействием Vnn>. В соответствии с этим энергетический спектр электрона в кристалле конечных размеров не является непрерывным, а представляет собой набор огромного числа дискретных уровней. Однако эти уровни расположены столь близко друг к другу, что проявляются как непрерывная полоса.
304
Раздел 4
Энергетические полосы, в которые превращаются дискретные уровни отдельных атомов, образующих кристалл, часто называют энергетическими зонами. Используется и более широкое понятие зоны, которое включает в себя не только разрешенную область энергии электрона, но и ту минимальную область значений квазиимпульса, которая соответствует этой энергетической области. В нашем примере кристалла с кубической решеткой минимальная область значений квазиимпульса определяется неравенствами
0 ^ кХ1 ку, kz ^ тт/Ь. (57.56)
§ 58. Обращение времени
Уравнения классической механики не меняются при «обращении времени», т. е. замене t —> —t; это связано с тем, что функция Гамильтона макроскопической механической системы инвариантна относительно такой замены. В классической электродинамике понятие обращения времени также играет важную роль, но здесь условия обратимости движения сложнее, чем в механике: как известно, инвариантность уравнений движения при обращении времени имеет здесь место только в том случае, если это преобразование сопровождается изменением направления магнитного поля.
В данном разделе мы рассмотрим вопрос об обращении времени в квантовой механике. Точнее, это будет лишь начало его рассмотрения, поскольку большая работа, относящаяся к этому вопросу, еще предстоит нам во второй части книги, при исследовании связи между прямыми и обратными процессами столкновений.
Мы будем исходить из того, что гамильтониан нерелятивистской квантовой системы, если только она не помещена в магнитное поле, инвариантен относительно замены «прошлого» на «будущее»: t —> — t (в этом особом случае будем учитывать, что гамильтонианы исходной и «обращенной во времени» систем отличаются друг от друга направлением магнитного поля). Очевидно, инвариантность относительно обращения времени есть особое свойство симметрии гамильтониана. Посмотрим, к каким физическим следствиям это приводит.
Начнем с выяснения того, как выглядит оператор обращения времени для волновой функции. На первый взгляд может показаться, что для этого достаточно в самой волновой функции сделать замену t —> —t. Пусть t) удовлетворяет уравнению
Лекция 18
305
Шредингера с гамильтонианом Н:
(58.1)
Учитывая, что Н — инвариант относительно замены t —> —t, получим отсюда, что функция ф(^ —t) удовлетворяет уравнению
которое не совпадает с уравнением Шредингера. Согласно основным постулатам квантовой механики это значит, что функция не описывает, вообще говоря, состояния той же физической системы, которой соответствует волновая функция ф(?, t). Легко видеть, однако, что если Н = Н*, то уравнению Шредингера удовлетворяет функция, получаемая из ф(?, —t) путем ее комплексного сопряжения:
Действительно, производя комплексное сопряжение обеих частей уравнения (58.2), получаем
Сравним при t = 0 физические характеристики двух состояний физической системы, описываемых волновыми функциями ф(?, t = 0) и фобр(?? t = 0). Найдем для этого среднее значение физической величины F в состоянии ф0бр{^ t = 0):
(последнее равенство мы записали, исходя из свойства эрмитово-сти оператора физической величины F). В ^-представлении выражение для оператора координаты Xi вещественно, тогда как выражения для операторов импульса pi и момента импульса ^ чисто
(58.2)
V>o6p(?, t) ~t).
(58.3)
(58.4)
Пбр — (^Обр(?) ^ |^обр(^) t — 0))
= <V>*(?,t = 0)|%*(?,t = 0)) = = {^,t = 0)\F*m,t = 0))* =
(58.5)
306
Раздел 4
мнимы. Поэтому по формуле (58.5) получаем
(58.6)
где слева приведены средние значения в состоянии ф0бр (t), а справа — в состоянии ip(t) (все при t = 0). Отсюда видно, что физические характеристики состояний ф(^ t = 0) и ^обр(С^ — 0)? получаемых одно из другого обращением времени, связаны между собой так же, как соответствующие характеристики классической частицы: координата, кинетическая энергия, полная энергия частицы инвариантны относительно обращения времени; импульс, момент импульса изменяют при обращении времени свой знак. Заметим, что при использовании р-представления соотношение (58.3) не дает такой же результат; это связано с тем, что сама переменная волновой функции ? (импульс частицы) в этом случае меняет знак при замене t —> —t.
Соотношение (58.5) можно рассматривать как определение нового оператора F0qp, который в обкладках волновой функции исходного состояния ф{?, t = 0) дает среднее значение F06P в состоянии ^обр(?? t = 0):
