Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
V 27Г
Полином Ргт(ж) называется присоединенной функцией или присоединенным полиномом Лежандра. При т > 0 эта функция выражается через полином Лежандра Pi (х):
Дополнения
323
где
№9)
Легко проверить, что
Olm{x) = (-1 Г0г, -т(х), (Д7.10)
Ф*т(<р) = ф-т(<р), (Д7.11)
откуда получаем
УМ = (-1)тУ1,-т{в,(р). (Д7.12)
Сферические функции образуют ортонормированный набор
7Г 277
J jYi*m(v)Yi>m>{6, (f) sinededip = 6w6mm>, (Д7.13)
о о
который является полным в пространстве квадратично-интегри-руемых функций, зависящих от в и ср.
Сферические функции удовлетворяют соотношению (теорема сложения сферических функций)
I
Рг(пт2) = 2^i Е ^(ni)Hm(n2), (Д7.14)
т= — 1
где ni, П2 — произвольные единичные векторы.
Отсюда легко получить соотношение
? |У,т(0, <Р)\2 = (Д7.15)
Из (Д7.4)-(Д7.9) имеем
Yw(0,v) = \J^1Pi(™se). (Д7.16)
Явный вид сферических функций для I = 0, 1, 2 был приведен в §32.
324
Дополнения
Укажем явный вид первых полиномов Лежандра и нормированных присоединенных полиномов Лежандра
Р0(х) = 1, Pi(x) = X, Р2(х) = |(3ж2 - 1),
Р3{х) = ±(5:с3 - Зх), Р4(х) = ^(35ж4 - ЗОж2 + 3); (Д7.17)
Z о
000 = у2’ 010^ = Y §= ту|(1 -X2), 02o(z) = yf(3^2 - 1), 02,±i(я) = T^xVl-x2, (Д7.18)
в2,±2(х) = ^Щ(1-Х2).
Часто оказывается полезным значение следующего интеграла:
7Г 27Г
J J Yhn(6, (fi)Yhmi(e, ip)Yhm2(e, ip) sin в d9 dip =
0 0
= 1') {h0l20\l0)(lim1l2m2\lm), (Д7.19)
где (Iimil2rri2\lrn) — коэффициент векторного сложения. Отметим следующую важную формулу:
1
г1-г2
Щ Е (?г) Ггт№^1)Ггт(6»2, <Ы при П>Г2,
% Е 2^1 {^) Ylm(e^Vl)Ylm(02,<fi2) при Гг<Г2,
(Д7.20)
где (#1, <^i) и (02? ^2) — полярный и азимутальный углы векторов 1*1 и г2.
8. Цилиндрические функции полуцелого порядка
В квантовой механике широко используются следующие функции, просто связанные с цилиндрическими функциями Бес-
Дополнения
325
селя Jv(p) полуцелого порядка:
1) ji{p) = х 1 (р) — сферическая функция Бесселя;
2 р z+
(Д8.1)
2) щ(р) = (-1)H1 JJ-i-i/2(p) — сферическая функция
Неймана; I = 0, 1, 2, ...
(Д8.2)
Эти функции являются линейно независимыми решениями уравнения
d2 ,2 d , Л Ф + 1Л л/ ч п
—j/w=o
и имеют следующее поведение при р —> 0 и р —> оо:
(Д8.3)
М/?)
1-1-3-5... (21—1)
Ji
l-3-5...(2Z+l)’ р'
'(О3) « ^ c°s(p-^-тг), т(р) « isin(p-^у-тг) при/з
при р —> 0;
(Д8.4)
—>¦ ОО.
(Д8.5)
При любом значении I функции jz(p) и пДр) выражаются через sin р и cos р. Для I = 0, 1, 2 имеем
. , ч sinp cos р
Зо(р) = —р~, Мр) =--------------р— ,
. , ч sin р cos р . ч cos р sin р
зЛр) = —2------------n-, ^i(p) = --
(Д8.6)
i2(p) = sinp_^cosp’
Мр) = ~{^~^jC0SP~ ^smP-
Ниже приведены значения положительных корней уравнения
Мхк) =0, 1 = 0,1, 3, 4, 5, 6, (Д8.7)
326
Дополнения
расположенные в порядке возрастания их величины:
X 3,142 4,493 5,763 6,283 6,988 7,725
I 0 1 2 0 3 1
(Д8.8)
X 8,18 9,10 9,36 9,42 10,45 10,50 10,90
I 4 2 5 0 3 6 1
Часто используются линейные комбинации функций ji(p) и щ(р):
Ьч\р) = ji(p) + ini(p), hf\p) = ji(p) - ini(p), (Д8.9)
которые называются сферическими функциями Ханке ля первого и второго рода соответственно.
Асимптотики этих функций имеют вид
н[1)(р)ъ±е^р-*{1+1)'\
h\2\p) « 2^+1)7Г] при р —> оо. (Д8.10)
Заметим, что в случае чисто мнимого значения аргумента
(р = г/Зг, (3 > 0) только h^\p) стремится к нулю при г —> оо и является квадратично-интегрируемой функцией. Приведем явный вид этой функции при I = 0, 1, 2:
ho\if3r) =
^(1)m=,(J_ + _l_у* (Д8.П)
h?\ipr) = i(± + -^ +
2 V/3r {3 v p3r3/
Дополнения
327
9. Разложение плоской волны по сферическим функциям
В различных приложениях широко используется следующее разложение плоской волны по сферическим функциям:
оо I
e*kr = 4тгЕ Е il3i{kr)YCm(Q, Ф)?1т(в, <р), (Д9.1)
/=0 т= — 1
где 0, Ф — полярный и азимутальный углы вектора к, а 6, ср — углы вектора г, ji (х) — сферическая функция Бесселя.
Если полярную ось направить по вектору к, то эта формула принимает более простой вид:
eikz=J2ilVM2l+l)ji(kr)Vl0(e)=J2il(2l + l)Mkr)Pi(cose),
1=0 1=0
(Д9.2)
где z = г cos 0.
10. Вырожденная гнпергеометрнческая функция. Обобщенные полиномы Лагерра
Вырожденная гипергеометрическая функция F(a, с; z) определяется рядом
F(a с' z) = 1 а(-а+^ 2:2 + а(а+1)(а+2) ,
1 j с 1! с(с+1) 2! + с(с+1)(с+2) 3! " ’
(ДЮ.1)
где а, с — константы, причем
с ф —к, к = 0, 1, 2, 3, ...
Эта функция удовлетворяет уравнению
2§- + (с-^-а^) = 0- (Д10-2)
Если а = — п (п = 0, 1, 2, ...), то F(a, с; z) сводится к по-
328
Дополнения
линому степени п:
п п(п — 1)
n(n—i)(n—2) -3 _____________1___________ „
с(с+1)(с+2) 3! с(с+1)(с+2).. . (c+n—1)
который можно представить в виде
Г (с)
Р(-П, с; z) = -AJ-L'-'iz), (ДЮ.4)
1 (с + п)
где
Lcn(z)=z-ce*?;(zc+ne-z) (Д10.5)
есть обобщенный полином Лагерра, Г (х) — гамма-функция.
Если а —п, то асимптотика вырожденной гипергеометри-ческой функции имеет вид
Г (с)
F(a, с; z) ~ ^ П^И Z * °°’ (ДЮ.6)
Если с —к (к = 0, 1, 2, 3,...), то второе линейно независимое решение уравнения (Д10.2) есть
Fi(z) = z1~cF{a - с + 1, 2 - с; z). (ДЮ.7)
