Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Оператор F называется эрмитовым, или самосопряженным, если = F. Следовательно, эрмитов оператор удовлетворяет соотношению
(^i|%2) = <^i|%i)*, (Д2.6)
где ф\, — любые векторы из области определения F. Два
оператора Ап В считаются равными
А = В,
если совпадают их области определения, и если на каждом элементе ф из их области определения значения этих операторов совпадают:
Аф = Вф.
Для любых операторов Ап В справедливо соотношение
(АВ)+ = В+А+. (Д2.7)
Отсюда вытекает более общее соотношение:
{ABC...F)+ = F+ ...С+В+А+. (Д2.8)
Линейный оператор F называется унитарным, если
FF+ = F+F = I, (Д2.9)
где I — единичный оператор. Таким образом, унитарный оператор удовлетворяет соотношению
F+=F-\ (Д2.10)
Докажем вещественность дискретного спектра эрмитова оператора. Пусть срп — собственная функция эрмитова оператора F, принадлежащая собственному значению Fn.
Ftpn — FnLpn, срп ^ 0.
Дополнения
315
Отсюда получаем
Fn = {^Рп\F\(Pn) / {(fn l^Pn) •)
F* = {4>n\F\4>n)* / {ч>п\ч>пу = (ipn\F+\(fn) / {<Рп\<Рп}, т-е. F* = Fn.
Здесь мы воспользовались свойством (Д2.6) эрмитова оператора.
Покажем, что собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Имеем
Ffn = Fnfn 1 F(рт = Fm(Prri') Fn ф Fm-
Умножим первое уравнение скалярно на срт, второе уравнение — на срп и вычтем из первого уравнения комплексно сопряженное второе:
Fn{(Pn\(Pn) Fm((Pn\(Pm) = {(Pm\F\(pn) {(Pn\F\(Pm) •
Воспользовавшись эрмитовостью оператора F и вещественностью его собственных значений, получаем
(Fn Fm) (<РГп\(Рп) = 0.
Поскольку по условию Fn Fm, отсюда следует, что
{(Рт\(Рп) = 0*
Собственное значение Fn, которому соответствует несколько линейно независимых векторов српа (ск = 1, 2, , N), называет-
ся вырожденным, а число N называется кратностью вырождения этого собственного значения.
Векторы {(pna}a=i> вообще говоря, не являются взаимно ортогональными, но, как известно из линейной алгебры, всегда существует такое линейное преобразование набора {ц>па}а=1> что новый набор векторов {фпр}р=i будет принадлежать тому же собственному значению Fn, и все векторы набора {фп/з} взаимно ортогональны. Таким образом, мы можем считать, что все собственные векторы эрмитова оператора взаимно ортогональны. Кроме того, все векторы можно считать нормированными на единицу, поскольку если \\фк\\ Ф 1, то вместо фк можно рассматривать вектор ф'к = фк /1 \ фк 11, который удовлетворяет условию \\ф'к\\ — 1-
316
Дополнения
В дальнейшем мы будем считать, что все собственные векторы эрмитова оператора образуют ортонормированный набор:
(<Pk\<Pi) = hi- (Д2.11)
В математике доказывается, что совокупность всех орто-нормированных собственных векторов эрмитова оператора с чисто дискретным спектром является полным набором в пространстве 1/2, а следовательно, ортонормированным базисом этого пространства (см. Дополнение 1).
3. Операторные функции
Пусть F — оператор некоторой физической величины, имеющий собственные функции и обобщенные собственные
функции {х/(?)}:
F<pn(0 = Fn<Pn(0, (ДЗ-1)
Fx/(0 = /хЛО; (Д3.2)
где {Fn} и {/} — точки спектра оператора F.
Пусть р(х) — некоторая однозначная функция переменной х. Тогда по определению принимается, что результат действия операторной функции p(F) на собственные функции и обобщенные собственные функции оператора F дается формулами:
p(F)MO=P(Fn)MO, (ДЗ.З)
р(р)хЛО=р(ЛхЛО- (ДЗ-4)
Поскольку согласно (2.20) любую функцию ф(?) из можно
представить в виде разложения по полному набору {срп}, {Xf} в виде
Ф(0 = Е a^n(Z) + [ afXf(0 df, (Д3.5)
{F„} {j}
an = (<Рп\Ф), af = (х/\ Ф),
получаем
Р(Р)Ф(0 = Y, OnP(Fn)M0 + f а/Р(/)х/(04Г- (ДЗ-6)
{*.} {j}
Дополнения
317
Это соотношение позволяет найти результат действия произвольной операторной функции на любую функцию из Ь2.
Особенно простой вид эта формула принимает в том случае, когда функция р{х) может быть разложена в ряд Тейлора
оо
р(х) = Е СтХт¦ (ДЗ-7)
771 = 0
В этом случае
р(Р)Ш) = Е с- ( Е anFnM0 + [ affmXf(0 df ).
т=0 \{Fn} jjy J
(Д3.8)
Используя (Д3.1, Д3.2, Д3.5), отсюда получаем
р(р)ш) = Е сшРтФ{о-
771 = 0
Поскольку функция ф{?) произвольная, отсюда следует
оо
p(F) = Е CmFm. (Д3.9)
771 = 0
4. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака (^-функция) является обобщенной функцией и определяется как линейный функционал на множестве непрерывных функций S. Пусть — произвольный элемент множества S. Тогда ^-функция определяется как значение функции <р(?) в точке ? = 0, т. е.
%(?)] = <р(0). (Д4.1)
Это соотношение принято условно записывать в виде скалярного произведения некоторой функции 5(?) и функции ср(?):
%(?)] = (5(0 Ь(0) = 18(ZMZ) dZ = т, (Д4.2)
хотя легко показать, что не существует функции 5(?), которая удовлетворяла бы этому равенству
318
Дополнения
В математике доказывается, что ^-функция может быть представлена в виде предела последовательности функций {/zv(?)}i°> принадлежащих пространству Ь2.
5(i) = lim fv(?),
(Д4.3)
причем этот предел понимается в следующем смысле:
lim (МОЫО) = (<5(?)1<Ж)) = ?>(0), (Д4.4)
