Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
где символом Kq мы обозначили оператор комплексного сопряжения. Легко видеть, однако, что соотношения (58.6) допускают гораздо более широкий класс преобразований
где оператор К отличается от оператора комплексного сопряжения на произвольный унитарный оператор W, коммутирующий с операторами координат и импульса:
^обр — (Ф(?? t — 0)|i^o6p|Ф(?) t — 0)). Согласно (58.5) мы нашли F0qр в виде
(58.7)
Fo6p = K0FK-K
(58.8)
Fo6p = KFK-1
(58.9)
К = WK0, ww+ = W+W = I, [W, Xi} = 0, [W, Pi\ = 0.
(58.10)
(58.11)
(58.12)
Лекция 18
307
Очевидно, что вместе с (58.9) мы можем расширить и класс преобразований (58.3):
^обр(е, t) = Кф(-г) = WKo'ip(-t). (58.13)
Существуют ли какие-нибудь ограничения на выбор оператора W1 Из (58.12) видно, что W не может содержать ни оператора координаты, ни оператора импульса. Значит, при описании бесспиновой частицы W может быть лишь числом, а следовательно, оператор обращения времени К совпадает с оператором комплексного сопряжения:
К = К0. (58.14)
Если же частица обладает спином s, то W можно выразить через спиновый оператор. Правда, в этом случае мы должны предъявить дополнительное требование к преобразованию (58.9), аналогичное требованию (58.6):
^г|обр = (58.15)
Согласно (58.9) и (58.10) этому требованию соответствует операторное соотношение
= -Si. (58.16)
Вспомним, что в представлении, где оператор s~z диагонален, операторы s~x и s~z изображаются чисто вещественными, а опера-
тор 'sy — чисто мнимой матрицами (см. (38.8)—(38.10)). Поэтому
(58.16) можно переписать в виде
WsxW+ = -sx, WsyW+ = syWszW+ = -sz. (58.17)
Отсюда видно, что унитарное преобразование W изменяет знаки проекций спина на оси х и г, не затрагивая проекцию спина на ось у. Ясно, что это есть преобразование поворота в спиновом пространстве вокруг оси у на угол 7г:
W = R(y, 7г) = ехр(г7Г5?/) (58.18)
(см. (53.20)).
Для частицы со спином ^ отсюда получаем
W = R(y,Tr)=idy, (58.19)
308
Раздел 4
где а у — матрица Паули; здесь мы воспользовались соотношением
егаау = I cos а + ту sin а (58.20)
(упр. 10.7). Таким образом, для частицы со спином ^ оператор К
имеет вид
К = idyK0. (58.21)
Итак, оператор обращения времени К не имеет в квантовой
механике универсального вида, а в зависимости от того, к какой физической системе он применяется, описывается тем или иным выражением.
Применим полученные общие результаты к рассмотрению одноэлектронного атома, находящегося во внешнем электромагнитном поле (без учета спина электрона).
Гамильтониан такой системы имеет вид
Я=^(р-|А)2 + е^ + У(г), (58.22)
где А и if — векторный и скалярный потенциалы поля. Для гамильтониана, обращенного во времени, согласно (58.9) и (58.14) получаем
H^KoHKq1 = ±(-р- |а)2 + + V(r) =
2 (58.23)
= 2^(р+^А) +eiP + v^)-
Этот оператор отличается от оператора (58.22) направлением вектора А, т. е. направлением магнитного поля.
В заключение познакомимся с теоремой Крамерса, указывающей на интересные физические свойства стационарных состояний некоторых систем, «симметрийное» происхождение которых связано с обращением времени.
Пусть n-электронный атом находится в произвольном постоянном электрическом поле. Поле не предполагается однородным или имеющим какую-либо другую пространственную симметрию. Движение в такой системе обратимо (А = 0, H0qр = Н), а оператор обращения времени К может быть записан в виде
К = inaiya2y • • • &ПуК0, (58.24)
где aiy, у, ••• — операторы Паули для отдельных электронов.
Лекция 18
309
Пусть ф(?) — волновая функция произвольного стационарного состояния атома в заданном электрическом поле:
Нф{?) = Еф{?). (58.25)
Инвариантность гамильтониана рассматриваемой системы относительно обращения времени H0qр = КНК~Х = Н означает, что операторы Н и К коммутируют между собой. Подействуем на обе части уравнения (58.25) оператором К и, используя коммутативность операторов Н и К, получим
Н(Кф) = Е(Кф). (58.26)
Таким образом, состояние Кф = ф' принадлежит тому же энергетическому уровню, что и ф. Покажем, что если атом имеет нечетное число электронов, то состояние ф' ортогонально состоянию ф вне зависимости от того, какой уровень рассматривается и каков внутренний гамильтониан атома. Действительно,
(ф\ф') = (ф\Кф) = (\?ф\\?Кф) =
= (К0ЦГф\К0ЦГКф)* = (58.27)
= (K0WKil>\K0Wil>) = (K2ip\Kip) = (.К2ф\ф'). Учитывая, далее, что согласно (58.24)
к2 = (-1 )пТ, (58.28)
из (58.27) получаем
(Ф\Ф') = (-1ТШ). (58.29)
При нечетном п это означает, что
(ф\ф') = о,
что и требовалось доказать. Таким образом, если энергетическому уровню Е принадлежит волновая функция ф(?), то всегда можно найти еще одну, ортогональную ей и принадлежащую тому же уровню волновую функцию фг, которая получается из ф с помощью оператора обращения времени. Это и есть теорема Крамерса.
Итак, любой энергетический уровень атома с нечетным числом электронов, находящегося в произвольном постоянном электрическом поле, вырожден. Кратность вырождения равна четному числу.
310
Раздел 4
Упражнения к лекции 18
18.1. Вычислить интегралы (57.14), (57.16) и (57.17), используя эллиптические координаты
