Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют следующему условию ортонормированности:
оо
J Lcm(z)Lcn(z)e~zzcdz = n\T(n + c+l)5mn. (ДЮ.8)
о
Часто оказывается полезным значение интеграла
оо
f(L^(z))2e-zz^dz =
Дополнения
329
11. Коэффициенты векторного сложения
Коэффициенты векторного сложения, или коэффициенты Клебша-Гордана, обладают следующими важными свойствами:
l\hm\hm2\jm) = (~1У1+п~3 {j2m2jimi\jm), (Д11.1)
(jimd2m2\jm) = (-1 yi+32~3(ji - mi, j2 - m2\j, -m),
(ДП.2)
{hm1j2m2\jm) = (_l)^+m2 (j, -m, j2m2|ii, -mi),
(Д11.3)
(jimij2m2\jm) = (-I)-?1""*1 ^^++\{jimij, -m\j2, -m2).
(ДП.4)
Коэффициенты векторного сложения произвольного момента ji с моментом j2 = ^ могут быть вычислены по следующим формулам:
0‘imi|m2|jm) = (ДИ-5)
Ш2 1 2 1 2
jl + \ lji+m + 1/2 V 2ii + 1 lji-m + 1/2 V 2л +1
Л-i lji-m + 1/2 V 2^i + 1 lji+m + 1/2 V 2^ +1
Коэффициенты векторного сложения произвольного момента ji с моментом j2 = 1 могут быть вычислены по следующим
330
Дополнения
формулам:
(j1m1lm2\jm} = (Д11.6)
\ 7712 1 0 -i
Л+1
/ (л+ггс)(л+га+1) / 0*1 —ш+1)(л+т+1) / (ji-»n)0'i-m+l)
V (2ji+1) (2ji+2) V (2л+1) (л+1) V (2ji+l)(2ji+2)
ji гп
/ (ji+m)(ji-m+l) / (j 1 —m) (j i +m+1)
V 2л (л+1) л/лО'1+i) V 2ji(ji + 1)
31-1
/ (ji-m)(ji-m+l) V 2л (л+1) V ii(2ji+i) / (ji+m+l)(ji+m) V 2ji(2ji+1)
12. Матрицы конечных поворотов
Приведем некоторые важные свойства 12-функций, не отмеченные в § 55.
1) D%m,(a, /3, 7) = (—/3, l)- (Д12.1)
2) Если j = I = 0, 1, 2, . .., то
В®(а, /3, 0) = ^L-Ylm{!3, а), (Д12.2)
о(0, /3, 7) = 7)’ (Д12'3)
-^00 (0) /?> 0) = P;(cOS/3). (Д12.4)
Мы видим, что в частном случае D-функции сводятся к сферическим функциям. Поэтому их называют иногда обобщенными сферическими функциями.
3) С помощью коэффициентов векторного сложения (см. § 41) произведение .D-функций всегда можно представить в виде их
Дополнения
331
линейной комбинации:
=
jl +32
= Е (hrni32m2\3m)D(?m,{w){j1m\j2m'2\jm'), (Д12.5)
J = IJ1 J 2 |
где m = mi + m2, m! = m^ + m^. Это соотношение называют «теоремой сложения» 12-функций.
4) Соотношение, обратное (Д12.5), имеет вид
-°т!п'М= Е (hmij2m2\jm)D^m>SU)D<?!m'*
raim'j
х (Д12.6)
где m2 = m — mi, m^ = m' — m'x.
С помощью этой формулы можно из .D-функций некоторого порядка «строить» 12-функции более высокого порядка. Так, например, положив ji = j2 = i и используя (55.8) и (55.10), можно
построить матрицу D^\ Затем из ?>(!) и 12 2 можно построить
D 2 и т. д. Таким образом, формула (Д12.6) позволяет вычислить 12-функции произвольного порядка, исходя из D^^2\
5) 12-функции удовлетворяют следующему условию ортогональности:
277 77 277
j da J sin [3 dp J djD^^a, (3, 7 )Г>?2аЦ (a, /3, 7) =
0 0 0
= 2 ji + i<^1-j2<^TOim2<^,Ttim2‘ (Д12-7)
6) Из (Д12.7) и (Д12.5) следует
277 77 277
Jdajsin f3dpj(a, /?, 7)-D„1)m'1 («. A ^)DmJm'2 (a> A 7) = 0 0 0
о 2
= 2 ^ + x (jim1j2m21 jm) (ji m!xj2m!2 \jm').
(Д12.8)
332
Дополнения
7) Используя (Д12.6), легко получить:
(Д12.9)
=
(см. следующую страницу)
(Д12.10)
то' ТО 3/2 1/2 -1/2 -3/2
3/2 1 “Ь cos (3 (3 2 COS2 ^1 + “S/3sin^ /77 1 — COS Q Q v3 2 COS 2 1 — cos /3 . /3 2 Sm 2
1/2 1 + cos /? sin /? 3 cos /3 — 1 /3 2 C0S2 1 + 3 cos /3 . /3 2 Sm 2 /77 1 — COS /3 /3 v/3 2 cos 2
-1/2 /77 1 — COS Q Q л/З 2 COS 2 1 + 3 cos /3 . /3 2 Sm2 3 cos /3 — 1 /3 2 C0S2 V31+“s/?sinf
-3/2 1 — cos в . Q 2 Sm 2 /77 1 — COS Q Q л/З 2 COS 2 ^1 + “S/?sin^ 1 + cos /3 /3 2 COS2
Дополнения 333
Дополнительная литература
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.
3] Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
4] Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.
М е с с и а А. Квантовая механика, т. 1. — М.: Наука, 1978; т. 2. — М.: Наука, 1979.
6] Ш и ф ф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957.
7] Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. — М.: Физматгиз, 1960.
Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.
9] Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика. — М.: Наука, 1976.
0] Тимофеевская О. Д., Хрусталев О. А. Курс квантовой механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.
Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1963.
Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. — М.: Наука, 1981.
3] Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике. — М.: Гостехиздат, 1957.
4] Флюгге 3. Задачи по квантовой механике, т. 1,2. — М.: Мир, 1974.
Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями. — М.: Мир, 1978, с. 155-186.
Дополнительная литература
335
[16] Мин Чен. Задачи по физике с решениями. — М.: Мир, 1978, с. 216-238.
[17] Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник задач по физике с решениями. — М.: Атомиздат, 1971, с. 40-48.
[18] Балашов В.В., Коренман Г.Я., Смирнов Ю.Ф., Юдин Н. П. Теоретический практикум по атомной и ядер-ной физике, ч. 1. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.
Всеволод Вячеславович Балашов Владислав Константинович Долинов
