Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
V—rOO
где (р(?) — произвольная функция из S.
Наиболее часто используются следующие представления S-функции:
5(х) = lim 1 = lim -^=e_zy x —
= Hm —
1 v
= lim
sin vx
(Д4.5)
Используя первое из этих соотношений, легко показать, что
5(0= lim / elkxdk = ^~ f eikx dk. (Д4.6)
v^oo Z7T Z7T J Z7T J
Дельта-функция удовлетворяет следующим соотношениям:
5(—х) = S(x), х5(х) = О,
5 (ах) = 7^7 5(ж), а^О,
\а\
f(x)S(x -а) = f(a)S(x - а)
п
sif(x)} = Y1
г=1
5(х - - Xi)
df(x)
dx X=Xi
(Д4.7)
(Д4.8)
(Д4.9)
(Д4.10)
(Д4-11)
где Xi — нули функции f(x),n — количество нулей на всей оси х.
Дополнения
319
Все эти соотношения имеют только тот смысл, что левая и правая части каждого равенства эквивалентны при использовании их в «скалярных произведениях» типа (Д4.2).
Путем замены переменной легко показать, что
j = (Д4.12)
В приложениях часто используется формула
Нт(ж — гг)-1 = + ш5(х), (Д4.13)
? —>0 Х
где символ 0Р указывает на то, что вычисление интеграла надо проводить в смысле главного значения.
5. Теорема о коммутирующих операторах
Докажем теорему, сформулированную в § 4: два эрмитовых оператора А и В с чисто дискретными спектрами имеют в Ь2 общий полный набор собственных функций тогда и только тогда, когда их коммутатор равен нулю: [А, ??] =0.
Доказательство необходимости. Пусть {<рк}— общий полный набор собственных функций операторов А и В, т. е.
А(рп = Anipn, Всрп = Впсрп.
Тогда произвольный вектор из общей области определения операторов АВ и В А можно представить в виде
оо
ip = akipk. к=1
Поэтому
\_А, В] ip = (АВ В А) У ^ = ^ &к (АкВк ВкАк)(рк = 0,
к к
т. е. [А, Щ ip = 0, что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности. Пусть [.А, B]ip = 0, где ip — любой вектор из общей области определения операторов АВ и В А.
320
Дополнения
Рассмотрим множество Г всех собственных векторов, принадлежащих собственному значению А оператора А, т. е. если (р G Г, то
Аср = Аср.
Легко проверить, что Г — линейное пространство, размерность которого равна кратности вырождения собственного значения А. Действительно, из того, что ср1, ср2 G Г, следует
А(а\ср\ + <22^2) = aiAcpi + а2Аср2 =
= aiAcpi + а2Аср2 = А(а\ср1 + а2ср2),
т. е. {а\(р\ + а2ср2) G Г.
Так же легко проверить выполнение всех других аксиом линейного пространства.
Покажем теперь, что оператор В, коммутирующий с А, не выводит векторы из Г. Пусть ср G Г, тогда
А(Вср) = В (Аср) = В Аср = А(Вср),
т. е. А(Вср) = А(Вср).
Следовательно, Вер — собственный вектор оператора А, принадлежащий собственному значению А, т. е. Вер G Г.
Поэтому мы можем рассматривать оператор В как оператор, действующий только в пространстве Г. Поскольку любой эрмитов оператор в конечномерном пространстве имеет полный в этом пространстве набор собственных векторов, можно утверждать, что В имеет в Г полный набор собственных векторов {фк}-
Следовательно, любой вектор ip G Г можно представить в виде разложения по этому набору:
V = У^а/сУ'А;, к
где все являются собственными векторами В и одновременно собственными векторами А, принадлежащими собственному значению А. Таким образом, доказано, что в Г существует общий полный набор собственных векторов операторов А и В.
Пусть {ерк}i° — полный набор собственных векторов А в пространстве Ь2. Тогда любой вектор G Ь2 можно представить в
Дополнения
321
виде
оо
Ф = dWk, к=1
а любой вектор можно представить, как только что доказано, в виде линейной комбинации общих собственных векторов операторов Аж В.
Таким образом, доказано, что для двух коммутирующих эрмитовых операторов А и В в Ь2 существует общий полный набор собственных векторов.
6. Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита Нп(х) могут быть определены как такие решения дифференциального уравнения
Н'п(х) - 2хН'п(х) + 2пНп(х) = О, (Д6.1)
которые при \х\ —> оо обращаются в бесконечность не быстрее апхп, причем ап = 2п.
Полиномы Эрмита могут быть представлены в виде
<9ПФ(>, t)
2 dn
ВД = = (-DV , (Д6.2)
где Ф(ж, t) = e2tx~t2 — производящая функция этих полиномов, которая выражается через эти же полиномы:
оо
V(x,t) = Y,Hn(x)%j- (Д6.3)
п=О
Полиномы Эрмита образуют на вещественной оси ортогональную систему функций с весом е~х :
оо
Нт(х)Нп(х)е~х2 dx = 2пп\\/тг6тп. (Д6.4)
— ОО
Имеют место следующие рекуррентные соотношения:
Нп+1(х) = 2хНп{х) - 2пНп_1{х), (Д6.5)
Н'п(х) = 2nHn-i(x), (Д6.6)
хНп(х) = пНп-^х) + ^Нп+1(х). (Д6.7)
ОО
/
322
Дополнения
Первые пять полиномов Эрмита имеют вид:
Щ{х) = 1, Hi(x) = 2ж, Н2(х) = Ах2 — 2,
Нз(х) = Sx3 — 12х, Н±(х) = 16ж4 — 48ж2 + 12. (Д6.8)
7. Сферические функции и полиномы Лежандра. Интегралы со сферическими функциями
Сферические функции Yjm(0, <^) являются ограниченными решениями уравнения
L2Ylm(0, <p)=L2Ylm(e, <р), (Д7.1)
т. е.
( йЫ ++f
принадлежащими собственным значениям
Ь2 = Щ + 1)Н2, 1 = 0,1, 2,3,..., (Д7.2)
причем
т = 0, ±1, ±2,..., ±1. (Д7.3)
Сферические функции можно представить в виде
Ylm(0, ip) = 0гт(0)Фт(^), (Д7.4)
где
вив) = (COS0), (Д7.5)
РГ(Х) = (1 -*2г/2^?^(х2 - 1)г, (Д7.6)
Фто(<^) = -^=е*ту. (Д7.7)
