Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 14
241
невозмущенного гамильтониана согласно (28.3) есть
{Pn\Pl\Pm) = <У>п|Ф|)№т). (50.1)
Для приближенного вычисления этой матрицы воспользуемся разложением (49.27) функции Ф/, ограничиваясь членами первого порядка:
iTr _ I (VklVlipi) оч
— Pi + 2_^ si - sk ^k' (50.2)
кф1
Подставляя (50.2) в (50.1), получаем
pl=p^+p\1), (50.3)
где
(Рп\р\ Pm) = {Pn\Pl) {Pl\Pm) = $1п$пт (50.4)
— матрица плотности невозмущенной системы,
/,„ I —(1) l_ \ _ f (<Pn\V\<pi) х , {pi\V\pm) , Vi г
\Pn\Pi |Pm) — ( _ 0ml + _ 0nl ) (1 Опт)
\ w &m J
(50.5)
— поправка первого порядка к матрице плотности невозмущенной системы. Условие ее малости имеет вид
\(pn\V\pi)\ <^:\?1 - ?п\ при любом пф1, (50.6)
что совпадает с условием (49.28) применимости теории возмущений к вычислению волновой функции.
Нетрудно видеть, что
Sppi = Spp\0) = 1. (50.7)
Это условие нормировки находится в соответствии с условием нормировки на единицу волновой функции Ф/ с точностью до членов первого порядка.
2. Теория возмущений для состояния системы в термостате
В § 31 мы рассматривали квантовую систему, находящуюся в статистическом равновесии со средой при температуре Т, и видели, что состояние системы является смешанным и описывается
242
Раздел 3
статистическим оператором (31.2)
р = е~13Й/гцз), (50.8)
где Н — гамильтониан системы,
/3=1 /кТ, (50.9)
Z(0) = Spe-^ (50.10)
— статистическая сумма состояния.
Представим гамильтониан Н в виде (49.1) и введем матрицу плотности невозмущенной системы
Р(0) = e-Wo/Zotf), (50.11)
Z0{(3) =Sp(e-/?So). (50.12)
Найдем поправки к используя «малость» возмуще-
ния V. Будем искать решение этой задачи в виде
р = р(0)?/, (50.13)
где искомый оператор U в силу малости возмущения должен быть близок к единичному оператору I. Подставляя (50.8) и (50.11) в (50.13), получаем
и = Щ±е-Рй°е-ей. (50.14)
(Заметим, что показатели экспонент в этом операторе нельзя складывать, поскольку Но и V, вообще говоря, не коммутируют.) Рассмотрим вспомогательный оператор
5(A) = еХ13Йое-Х13Й, (50.15)
где Л — произвольный вещественный параметр. Легко видеть, что
(50.16)
Р(0)§( 1)
“¦шш- <50Л7)
Лекция 14
243
Используя (50.10), (50.11) и (50.15), нетрудно проверить, что знаменатель этого выражения можно представить в виде среднего значения оператора 5(1) в состоянии р№\
Z{0)/ZO(J3) = Sp(p(°)?(l)). (50.18)
Следовательно, (50.17) можно записать в виде
p = p^S(l)/Sp(^S(l)). (50.19)
Такое представление статистического оператора возмущенной системы позволяет непосредственно видеть, что
Spp = 1, (50.20)
причем эта нормировка сохраняется в любом приближении для оператора S.
Переходим к вычислению этого оператора. Дифференцируя (50.15) по параметру Л, получаем уравнение для 5(A):
dS(X)/dX = -W(X)S(X), (50.21)
где
W(X) = еХ13Йо/39е-Х13Йо, (50.22)
а дополнительное условие согласно (50.15) имеет вид
5(0) = /. (50.23)
Заметим, что «малость» оператора W(А) определяется «малостью» оператора f3V = V/kT. Дифференциальное уравнение (50.21) с дополнительным условием (50.23) эквивалентно интегральному уравнению
л
5(A) = I- J W(X')S(X') dX'. (50.24)
о
Будем решать это уравнение методом последовательных приближений (итераций). Если возмущение V мало, можно в нулевом приближении считать, что интегральный член в (50.24) равен нулю. Тогда получаем
S = I. (50.25)
244
Раздел 3
Для получения первого приближения подставляем (50.25) в правую часть (50.24) и находим
л
§(Х) = I- J W(X') d\'. (50.26)
Для получения второго приближения надо в правую часть (50.24) подставить (50.26). Получаем
S(А) = So + Si (А) + S2(A), (50.27)
где
Л
So = I, Si (A) = - J W(X') dX', (50.28)
0
Л A'
52(A) = J W{X')(^j W(X")dX"^j dX'.
(50.29)
Подставляя (50.27) в (50.19), получаем статистический оператор системы во втором порядке теории возмущений. Найдем соответствующую матрицу плотности в представлении собственных функций (49.2) невозмущенного гамильтониана Но. Используя (50.28), (50.29) и (50.22), находим
n\S0\m)=6nm, (50.30)
nl,51(l)|m) = VnmePe* е~0[П Z , (50.31)
УпкМкг
g _ g g fiSri _ g /^?77
<„|S2(l)|m>=?g^e*»x
-к
к
&к ?п
(50.32)
где
Vnm = (n\V\m), (50.33)
а суммирование проводится по всем стационарным состояниям гамильтониана Но. Неопределенность при гп = гт раскрывается
Лекция 14
245
следующим образом:
е-(3еп _ е-(3?т lim -------------= _/5е-/3е™. (50.34)
?п
Далее вычислим нормировочный множитель (50.18). Используя матрицы (50.11), (50.30), (50.31), находим
Sp(p{0)S0) = 1, (50.35)
SpO^^l)) = J]) (50.36)
МР) п
Аналогично с помощью (50.32) получаем
Sp(?'“,&(1)) - ш 5 +
^пФ^гп
+ 2Zt1(f) 5 |V”m|2e~/??"- (5°-37)
Нетрудно проверить, что это выражение можно записать в более компактном виде:
sP<?(">&(D)=<50J8>
пт
Собирая вместе (50.35), (50.36) и (50.38), получаем нормировочный множитель (50.18) в виде
о (°) _ (°)
Z(p)/Z0(p) = 1 -P^VnnpW -|Е 1^пг|2Р" _?Рт ,
--- z z' СП ст
п пт
(50.39)
где
Л0) = e-^/ZoW) (50.40)
— собственное значение статистического оператора (50.11) невозмущенной системы.
Используя (50.11), (50.30)-(50.32), находим матрицу статистического оператора (50.17), т. е. матрицу плотности возмущен-
