Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
S
^(0) = XXw (49-33)
11=1
Для определения коэффициентов разложения {/3^} представим ф\^ в виде ряда по собственным функциям оператора Но'.
s
ф\Х) = ? aintpn + ? aidin', (49.34)
пф1 /1=1
подставим (49.33) и (49.34) в уравнение Шредингера (49.5):
(49.35)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л,
Лекция 14
237
получаем
А°|Я0^(0) =ertf\ (49.36)
S
А | У ^ Щп^п^п Н- ^ ^ + V^ =
пф1 /1=1
S
— е1 Щпфп + si Щц,(р1ц, + $i ^ф1 ^ • (49.37)
n^Z д=1
Уравнение (49.36) удовлетворяется функцией (49.33) при любых значениях коэффициентов {/3^}.
Составим скалярное произведение обеих частей уравнения (49.37) с функцией ср^:
Ы\Щ0)) = ё\1)Ы\ф\0)). (49.38)
Подставляя сюда (49.33), получаем
S
11=1
т. е.
S
= о, (49.39)
11= 1
где к = 1,2, .. ., 5.
Это есть система линейных однородных уравнений относительно Pi^ порядка 5. Условием ее нетривиальной разрешимости является равенство нулю определителя матрицы коэффициентов:
DetlK^IV^) - 41}6^\\ = 0, (49.40)
X, fl = 1, 2, . . . , 5.
Это уравнение представляет собой алгебраическое уравнение степени 5 относительно . (Аналогичное уравнение мы получили в § 24 при решении задачи диагонализации эрмитова оператора и назвали его секулярным, или вековым.)
Таким образом, корни секулярного уравнения (49.40) дают поправки первого порядка к энергии si невозмущенной системы. Если все корни различны, исходный уровень с энергией е% расщепляется на s подуровней, т. е., как говорят, вырождение снимается полностью. Если же имеются кратные корни, то некоторые
238
Раздел 3
подуровни остаются вырожденными и говорят, что вырождение снимается лишь частично.
Уравнение (49.39) есть уравнение на собственные значения оператора возмущения V в 5-мерном линейном пространстве, элементами которого являются собственные функции невозмущенного гамильтониана Щ, принадлежащие его собственному значению ?i, т. е.
17ф\0) = (49.41)
где
4
^г(0) = ?Ам^- (49.42)
М=1
Следовательно,
gj-V = (ф(°> \У\ф\0)), (49.43)
т. е. в случае вырождения поправка 1-го порядка к энергии уровня дается диагональным матричным элементом оператора возмущения в представлении его собственных функций в линейном пространстве, элементами которого являются собственные функции невозмущенного гамильтониана, принадлежащие некоторому его собственному значению. При этом собственные функции оператора возмущения являются функциями нулевого приближения.
Из (49.43) следует, что система уравнений (49.39) инвариантна относительно умножения оператора возмущения V на произвольное число. Поэтому функции нулевого приближения (49.33) не зависят от абсолютной величины возмущения, а зависят только от его вида.
Отметим также, что функции конечно, не зависят от
того, как выбран исходный базис который используется
для диагонализации оператора возмущения.
В дальнейшем мы встретимся с рядом случаев, когда собственные функции ipi^ невозмущенного гамильтониана Но одновременно являются собственными функциями оператора возмущения V. В этих случаях матрица диагональна
и сразу можно написать решение секулярного уравнения (49.40) в виде
= ШУ\<ры). (49.44)
Этот результат является частным случаем соотношения (49.43) при /3^ = 5^ в (49.42).
Лекция 14
239
4. Пример: расщепление двукратно вырожденного
уровня
Проиллюстрируем полученные результаты на примере расщепления двукратно вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана. Опуская индекс I, запишем функцию нулевого приближения (49.33) в виде
= (31ср1 + (32(f2• (49.45)
Коэффициенты f3\ и /32 определяются из системы уравнений (49.39):
(Vn-^)f31 + V12(32 = 0,
(49.46)
V21P1 + (V22 - = О,
где
Vik = •
Секулярное уравнение (49.40) принимает вид
Vu - gW V12 V21 Г22 - ?(1)
= 0, (49.47)
(?(1) f ~ ?(1)(Vn + V22) + VnV22 - |T42|2 = 0, откуда получаем
?(1) = l(Vn+V22 ± V(Vn+V22)2-4VnV22+4\V12\2). (49.48)
Таким образом, исходный двукратно вырожденный уровень с энергией е расщепляется на два подуровня с энергиями
?(+)
и ?(->:
Е(±) = в + |(Уц + Т/22 ± y/(Vu - V22f + 4|V1212)- (49.49)
Подставляя значения из (49.48) в систему уравнений (49.46), получаем
Pi = -V12p, р2 = (Уп - ?(1))/3, (49.50)
где (3 — некоторая константа, которая определяется из условия нормировки:
m2 + m2 = i,
240
Раздел 3
\p\\\v12? + \v11-g^) = i.
Следовательно,
Р =
V\Vi2\2 + \Vn-$V\2'
где 5 — произвольное действительное число. Поскольку фаза волновой функции может выбираться произвольно, положим 5 = 0. Тогда получаем
/з = (|У12|2 + \Vn - ^l2)1/2, (49.51)
V12
т. е.
Pi = ~ @2 = -
(49.52)
Отсюда видно, что f3\ и 02 не зависят от абсолютной величины возмущения, т. е. волновая функция (49.45) нулевого приближения зависит только от вида оператора возмущения V.
§ 50. Теория возмущений для матрицы плотности
В этом параграфе мы рассмотрим лишь некоторые применения теории возмущений для вычисления матрицы плотности, ограничиваясь, как и в предыдущем параграфе, стационарными задачами квантовой механики.
1. Матрица плотности чистого стационарного состояния возмущенной системы
Начнем с простейшего случая — чистого стационарного состояния. Будем исходить из предположений (49.1) и (49.2). Для определенности примем, что все уровни невозмущенной системы невырождены. Пусть, как и в (49.8), Ф/ — волновая функция стационарного состояния возмущенной системы. Матрица плотности этого состояния в представлении собственных функций (49.2)
