Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Ж = Я0 + XV, (49.3)
где А — некоторый безразмерный параметр, принимающий значения из интервала
О < А < 1. (49.4)
Найдем собственные значения и собственные функции этого оператора
Жфг = (49.5)
232
Раздел 3
которые, как показано в математике, являются дифференцируемыми функциями параметра Л. Тогда имеем
lim Ж(Х) = Н0, lim ^г(А) = <#, lim А) = еи (49.6)
А^О Л^О Л^О
lim Ж(\) = Я, lim ^(А) = Ф/, lim А) = Ei, (49.7)
Л—>1 Л—>1 Л—>1
где Ф/ и Ei — собственные функции и собственные значения оператора Н:
HVi = EiVi. (49.8)
Представим функции cpi(X) и $i(\) в виде степенных рядов:
^z(A)^0^ + AV^ + A2V^ + • • •, (49.9)
8i{X)40) + А<?г(1) + A2<?/2) + ..., (49.10)
где
S[0)=Si( 0)=ej. (49.11)
2. Невырожденные собственные значения
Предположим, что все собственные значения «невозмущенного» гамильтониана Но невырождены (см. (49.2)). Разложим ф^ и ф^ по полному набору {(рп}образованному собственными функциями Но’.
оо оо
Ф^ = ^2 ainPn, фР = ^2knipn. (49.12)
71 = 0 71 = 0
Подставляя ряды (49.9), (49.10), (49.12) в уравнение Шредингера (49.5), получаем
(Но + АУ) Г ^ ^ + А аыфп + А2 bin(pn + ...
' п п
= {si + A<gf} + A2<gf} + ...) х х + А Щп<Рп + А2 bin(pn + ... V (49.13)
' n n '
Лекция 14
233
Мы имеем здесь равенство двух многочленов относительно Л, выполняющееся в интервале (49.4). Поэтому коэффициенты при одинаковых степенях Л слева и справа должны быть равны:
А°|Я0^(0) (49.14)
^I 51 а1п?п?п + Vipf '’ = ei^2ainipn + (49.15)
П П
А | У ^ bin?nipn-\- V У ^ Щп^п =
п п
— ei ^2bin(pn + ^ ^2ainfn + \ • • • (49.16)
п п
Из (49.14) получаем
W0) = W’ (49.17)
так как по предположению все собственные значения «невозмущенного» гамильтониана Но невырождены.
Составим скалярное произведение левой и правой частей уравнения (49.15) сперва с^,а затем с (рт (т/1):
+ {(fi\V\(fi) = siau + \ (49.18)
Щт^т Н- = ^1Щт• (49.19)
Отсюда получаем
<gf} = Ы^Ы, (49.20)
_ (tPmlVltPl) / / п //in 014
Щт — _ 7^ 0- (49.21)
W ст
Теперь составим скалярное произведение обеих частей уравнения (49.16) с функцией cpi
ЬцЕ1 + &in{tpil^l^n) = ^аи + \ (49.22)
п
откуда получаем
^(2) = +- @1^аи-
пф1
234
Раздел 3
Подставляя сюда (49.20) и (49.21), имеем
42) = ?
пф1
(49.23)
Для функции ф1 на основании (49.9), (49.17), (49.12) и (49.21) получаем
ipt = <Pt + \^2 ^ <Рп + Xauipi + ... (49.24)
пф1
Значение коэффициента ац определим из условия нормировки:
(^#г) = 1,
т. е.
|1 + \ац |2 + Л2
пф1
{Vn\V\Vl)
... = 1.
т. е.
&П
С точностью до членов порядка Л отсюда получаем 1 2 A Re ац = 1,
Re an = 0.
Выбирая соответствующим образом фазу функции cpi, можно сделать аи действительным, а тогда
ац = 0.
(49.25)
Итак, получаем следующие выражения для собственных значений и собственных функций оператора Н:
пф1
\ЩУЩ
— ?п
Фг = ^г(А=1) = ^i+^i+ • • • = Pi+Yl
пф1
sn
(49.26)
<pn-t~ ¦ ¦ ¦
(49.27)
Лекция 14
235
Мы видим, что поправка 1 -го порядка к энергии уровня равна диагональному матричному элементу оператора возмущения V, т. е. среднему значению этого оператора в соответствующем «невозмущенном» состоянии.
Поправка 2-го порядка 8^ к энергии основного состояния (I = 0), как это видно из (49.23), всегда отрицательна, так как ?0 - < 0 при п > 0.
При вычислении энергии по теории возмущений часто ограничиваются 1-м приближением. Для этого необходимо, чтобы по-(2)
правка 2-го порядка Щ J была малой по сравнению с поправкой 1-го порядка $1^, т. е.
\{<pn\V\<pi)\ <С \ei-?n\ при любом пф 1. (49.28)
Это условие означает, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения должны быть малыми по сравнению с абсолютной величиной разности соответствующих собственных значений «невозмущенного» гамильтониана. Будем называть это условие необходимым условием применимости теории возмущений.
3. Вырожденные собственные значения
Формулы (49.26) и (49.27) получены в предположении отсутствия вырождения всех собственных значений гамильтониана Но. Теперь откажемся от этого предположения. Начнем со случая, когда все уровни еп, кроме ей вырождены с кратностью гп, т. е. каждому ?п(пу^1) соответствуют гп функций
W„K;=1- (49.29)
Нетрудно проверить, что полученные формулы будут действительны и в этом случае, если произвести замену
и при каждом значении п ^ I суммировать по всем возможным значениям ап: ^
z7 I / 1т>1 \ I \((Pn,an\V\(fl)\2 , /лслъпл
El = ?i + (<pi\V\<pi) + > - _-------h ..., (49.30)
пф1
O-n
,T, , (‘Pn, an\V\y>l) /-/10 114
4i=4>i + Z,—--------------------Vn, «*„+••• (49.31)
пф1
236
Раздел 3
Теперь предположим, что исходный уровень ей поправки к энергии которого вычисляются, тоже вырожден с кратностью s:
HoPifj, — (/^ — 1? 2, 3, .. ., s),
(49.32)
{<Pln\Vlv) = <w
Полученные выше формулы в этом случае неприменимы, потому что при их выводе существенно использовалось условие (49.17):
ф{Р = Фг
(о неприменимости полученных формул говорит также обращение в бесконечность некоторых членов рядов из-за деления на нуль). В случае вырождения уровня si функция нулевого приближения ф^ может быть некоторой линейной комбинацией функций {pifx}, принадлежащих собственному значению si невозмущенного гамильтониана Но:
