Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
Мх) = 0{Ш-нК1,Мх))- <48'28)
При ж —> — оо получаем
Лекция 13
227
Сравнивая (48.29) с (48.14), видим, что асимптотика найденного решения согласуется с квазиклассическим решением.
Теперь рассмотрим область (II):
а = х 1, а^х<х о. (48.30)
Согласно (48.17) получаем
г(»>0. (48.31)
Следовательно,
Ых) = у р^(А71/з(*(а:)) + BJ-г/тт- (48.32)
Произведем сшивание 2pi(x) и фц{х) в точке поворота х = х\. Поскольку р(хi) = 0, удобно воспользоваться разложениями всех функций в окрестности этой точки:
\р(х)\ и yj2n\V'(a)\ - \х - а|, х -> а,
3 п
Используя известные представления при z —> 0
(48.33)
(z/2Y (z/2Y
ш~Шъ <4834)
и определение
Ku{z) = - L(z)),
2 sin 7tv
при z —> 0 получаем
(48.35)
228
Раздел 3
Подставляя (48.33), (48.34), (48.36) в (48.28) и (48.32), находим
при х —> а
I i {(ат~1/3 (а/3)1/3, _ Л
~ 2sin7r/3 у Г(2/3) Г(4/3) ’
v/2/3(a/3)V3 _ у2/8(а/ЗГ^
^ ~ Г(4/3) ^ ^ Г(2/3)
где
(48.37)
a=y2p\V'(a)\.
Сшивая эти две функции в точке х = а, получаем
А = В = Оф-2. (48.38)
Следовательно,
Ых) = А\] ш\/п^1/з{т) + ^(Ш- (48-39)
Асимптотика этой функции имеет вид
^ при х —> оо, (48.40)
Мх)е,А\1Шга^1х)+^
так как
Jv(z) « \J~^cos(z- |i/- при z ^ оо.
Этот результат согласуется с (48.14).
Производя аналогичные вычисления в областях (III) и (IV), найдем
Фш(х) = А^1 -J^(Ji/3(^)) + J_i/3(?(a:))). (48.41)
Предположим, что расстояние между точками поворота х\ и Х2 достаточно велико, так что в точке xq функции грц(х) и грщ(х)
Лекция 13
229
выходят на асимптотику:
Ipn(x) ~ sin^ fp(7l)dv+ f), (48.42)
Xl
X2
l)=0’
ipm(x) и sin^| jp(rj) dri+j). (48.43)
Сшивая эти функции в точке ж = хо, получаем:
Хо Х2
A sin Jр(г]) г] + ^ — A sin ^ Jp{r]) dr]
Xl Хо
Хо Х2
Acos^l J p(ri)i?+f) + ^COS(| /р^> dr] + |) =0-
Эта система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения только в том случае, если ее определитель равен нулю: Х2
sinf ^ / р(т]) dr] + ^ j = 0. (48.44)
Xl
Отсюда получаем
Х2
Jр(х) dx = ттН^п + , п = 0, 1, 2, . .., (48.45)
Xl
где согласно (48.4)
р(ж) = [2д(Е-У(ж))]
1/2
Это условие определяет энергии стационарных состояний системы в квазиклассическом приближении.
Заметим, что полученный результат, как и следовало ожидать, не зависит от xq.
Условие квантования (48.45) может быть распространено на случай системы с произвольным количеством N степеней свободы и имеет вид
(48.46)
<j> pdq = (2ttH)n ,
230
Раздел 3
где интегрирование проводится по замкнутому контуру в классическом фазовом пространстве системы. Это есть правило квантования Бора-Зоммерфельда, предложенное еще до создания квантовой механики.
Условие (48.45) является частным случаем (48.46), когда N = 1, а контур интегрирования соответствует одномерному движению частицы с полной энергией Е от точки х\ до Х2 и обратно. Так же как (48.45), условие квантования (48.46) справедливо только в случае достаточно больших значений импульса, т. е. при больших значениях квантового числа п.
Из (48.46) видно, что при переходе от одного стационарного состояния к другому объем классического фазового пространства увеличивается на (2nh)N. Отсюда можно сделать вывод о том, что при больших значениях п количество связанных состояний системы равно объему ее фазового пространства, измеренному в единицах (2nh)N.
Упражнения к лекции 13
13.1. Найти вариационным методом энергии и волновые функции первых двух стационарных состояний частицы в одномерной яме
V(x) = C\x\,
где С — некоторая константа. В качестве пробной функции основного состояния использовать следующую:
ф[х) = Аехр(-| (§) ^ ,
где А — нормировочная константа, а — вариационный параметр.
13.2. Найти в квазиклассическом приближении волновую функцию основного состояния линейного гармонического осциллятора. Найти энергетический спектр.
13.3. То же для частицы в одномерной прямоугольной яме.
13.4. Молекулярный ион водорода представляет собой систему из двух протонов и электрона. Написать уравнение для волновой функции электрона при фиксированном расстоянии между протонами, движением которых пренебрегается.
Лекция 14
231
ЛЕКЦИЯ 14 § 49. Теория возмущений для стационарного уравнения Шредингера
1. Общие уравнения
Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде суммы двух эрмитовых операторов
Я = Я0 + У, (49.1)
причем Яо имеет известный чисто дискретный спектр
Но^Рп = (Рп(ргп)$пт') (49.2)
а V — оператор «малого» взаимодействия, который называется оператором возмущения. Яо обычно является гамильтонианом некоторой идеализированной задачи, допускающей точное решение, а оператор возмущения V является частью гамильтониана реальной системы, которая не учитывалась в идеализированной задаче. Задача теории возмущений состоит в получении формул, определяющих собственные значения и собственные функции полного гамильтониана Я по известным собственным значениям гп и собственным функциям (рп(?) «невозмущенного» гамильтониана Яо. При этом существенно используется «малость» возмущения, и решение представляется в виде ряда по малому параметру.
Введем вспомогательный оператор
