Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Нф = Еф.
Таким образом, решение поставленной вариационной задачи на условный экстремум эквивалентно решению уравнения Шредингера.
216
Раздел 3
Покажем, что абсолютный минимум функционала J('0, ф*) при дополнительном условии (46.2) совпадает с энергией основного состояния системы Повыше мы предположили, что гамильтониан Н имеет чисто дискретный спектр:
Н(рп = Еп(рп, {(Рп\(Рт) = $пт- (46.5)
Тогда множество собственных функций является полным
набором, а поэтому любую функцию ф Е Ь2 можно представить в виде
оо
ф(?) = ^ClntpniO- (46-6)
п=0
Из условия нормировки || ф ||= 1 следует, что
оо
5]К|2 = 1. (46.7)
71 = 0
Тогда Jfy, ф*) можно представить в виде
Jbl>, Г) = {Ф\Н\ф) = Y,<a™(<Pn\H\4>m) =
пт
оо
= 'у ^ (1п(1шЕм5Пт = ^ Еп \ ап | . (46.8)
пт п=0
Поскольку Еп ^ Eq (п = 0,1,2,...), получаем
оо
ф*)>^Е°\ап\2 = Ео,
п=0
т. е.
ф*) ^ Е0. (46.9)
Следовательно, абсолютный минимум Jfy, ф*) совпадает с Е$.
Предположим, что собственная функция основного состояния ф = сро найдена. Тогда для определения Ei и cpi надо найти абсолютный минимум функционала Jfy, ф*) при двух дополнительных условиях:
(ф\ф) = 1, (щ\Ф) = 0.
Лекция 13
217
Первое из них выражает требование нормировки, а второе — требование ортогональности ф к функции основного состояния. В силу этого последнего условия в разложении (46.6) имеем ао = 0. Поэтому условие нормировки (46.7) принимает вид
оо
?Ы2 = 1-
71=1
При этом для функционала J('0, ф*) в соответствии с (46.8) получаем
оо оо
jw, г) = Y, e«i°»i2 > Z) = Ei^2 = Ei’
п= 1 71=1
т. е.
J($, ф*) ^ Еъ (46.10)
Аналогичное рассмотрение показывает, что для определения энергии n-го уровня Еп надо найти абсолютный минимум функционала (46.1) при (п + 1)-м дополнительном условии:
(Ф\Ф) = 1, (<Рг\Ф)=0 (г = 0, 1, 2, ..., n — 1). (46.11)
2. Вариационный метод Ритца
Решение поставленной вариационной задачи позволяет получить точное решение уравнения Шредингера. Для приближенного решения уравнения вариационным методом минимум функционала J^, ф*) ищется не во всем пространстве 1/2, а только в его некотором небольшом подпространстве. Например, в качестве этого подпространства можно взять множество квадратич-но-интегрируемых функций определенного аналитического вида с несколькими параметрами а, /3,..., /i:
"Ф(С? 1 • • • 1 аО*
Тогда функционал 3(ф, Ф*) превращается в функцию этих параметров:
J(^*) = J(a, /3, ...,/i), (46.12)
и задача сводится к нахождению минимума этой функции при дополнительном условии нормировки. Необходимое условие минимума приводит к системе уравнений:
dF/da = 0, dF/d[3 = 0, ..., dF/dp = 0, (46.13)
218
Раздел 3
где
F(a, /i) = J(a, A .. ., p) - ?(V#). (46.14)
Этот метод приближенного решения вариационной задачи называется прямым вариационным методом Ритца.
Выбор «пробной» функции ф(?; а, [3, ..., /а) базируется на качественном анализе с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора этой функции хорошая точность окончательного результата может быть получена при использовании небольшого количества параметров.
3. Пример: основное состояние атома гелия
В качестве примера использования вариационного метода найдем энергию и волновую функцию основного состояния двухэлектронного атома, в частности атома гелия. Гамильтониан этой системы, состоящей из двух электронов с зарядом е и массой fi и ядра с зарядом Z|е|, запишем в виде
« Й.Й Ze2 Ze2 с2 я-^ + 2^- —- —+ <46Л5>
где ri, г2 — координаты электронов относительно ядра, pi, Р2 — операторы их импульсов.
Пробную функцию возьмем в виде
^(?i, г2; /3) = /3)ф2(г2', Р), (46.16)
где
з
¦фг{Ти /3) = -^==ехр(-^гЛ, а = (46.17)
л / пт п з \ Uj / цра
\ie
волновая функция основного состояния одноэлектронного атома, заряд ядра которого есть /3\е\, а [3 играет роль вариационного параметра. Нетрудно видеть, что функция (46.16) при f3 = Z является собственной функцией гамильтониана (46.15), если из него исключить последний член, описывающий взаимодействие электронов друг с другом. Энергия этого состояния есть
Е0 = — Z2?q, ?q = fie4/h2.
(46.18)
Лекция 13
219
В нашей вариационной задаче параметр (3 эффективно учитывает отталкивание электронов друг от друга, а поэтому следует ожидать, что его значение должно быть меньше Z.
Функционал (46.14) в нашем случае принимает вид
F((3) = Fi(/3) + F2((3) + F3(/3) - E,
где
Ip? + pi I
= дЫр?Ы,
F2(i3) = -Ze2(y
T\
Г2
ф
F3(p)=e2(ф
= —2Ze 1
Ф1
Ф1
Г1 -Г2
ф
(46.19)
(46.20)
(46.21)
(46.22)
Здесь мы воспользовались тем, что функции (46.17) нормированы на единицу при любом положительном значении параметра /3.
Первый член Fi(/3) есть среднее значение кинетической энергии электронов. Второй член i^O#) является средним значением потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром, а последний член Fs((3) — средним значением энергии взаимодействия электронов друг с другом.
Приступаем к вычислению матричных элементов. При вычислении Fi(P) удобно воспользоваться соотношением
(^i(r)IPilV’i(r)) = (piV’iIpiV’i) = Цдгрг/дг \ дфг/дг).
Подставляя сюда (46.17), легко находим
