Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Fi(/3)=/32?0. (46.23)
Используя (46.21), получим
F2(P) = -2/3Zso. (46.24)
Для вычисления матричного элемента (46.22) разложим его оператор по сферическим функциям (см. (Д7.20)):
Г1-Г2
47Г
Г\
Е (я) Ylm{ei-,Vl)Ylm(02, <Ы при П>Г2,
77 Е (Й) <р2) при П<Г2,
(46.25)
220
Раздел 3
где (0 1, cpi) — направление вектора ri, (#2, ^2) — направление вектора Г2, и воспользуемся ортонормированностью сферических функций.
Окончательно получаем
W) = §/&<>. (46.26)
Подставляя (46.23), (46.24), (46.26) в (46.19), находим
F(/3) = (р2 - 2/3(Z - 5/16))е0 - Я. (46.27)
Из условия экстремума
dF((3)/d(3 = 0 (46.28)
получаем
/3 = (Z — 5/16). (46.29)
Используя это значение вариационного параметра, находим согласно (46.9) энергию основного состояния атома гелия
Е = (ф\Н\ф) = Fi(/?) + F2(0) + F3(/3) = ~(32е0. (46.30)
Мы видим, что, как и предполагалось, /3 < Z, а энергия основного состояния атома гелия больше энергии, которая была бы в отсутствие взаимодействия между электронами. Подставляя (46.29) в (46.16), найдем волновую функцию состояния. Заметим, что параметр [3 играет роль эффективного заряда ядра.
§ 47. Адиабатическое приближение
Адиабатическое приближение используется при рассмотрении физических систем, состоящих из двух подсистем 1 и 2, средние скорости движения которых существенно различны. Примером такой системы может служить молекула, состоящая из ядер и электронов. Масса ядра в тысячи раз превосходит массу электрона, и ядра в среднем движутся значительно медленнее электронов. Представим гамильтониан системы в виде
Я (? 1, &) = Я,(е 1) + Я2(Ы + V&, Ы, (47.1)
где Н(?i) — гамильтониан медленной подсистемы 1, характеризующейся координатами ?i, #2(62) — гамильтониан быстрой подсистемы 2, У(?ь ?2) — потенциальная энергия взаимодействия
Лекция 13
221
подсистем. Стационарные состояния системы определяются уравнением Шредингера
ЯФ = ЯФ. (47.2)
Рассмотрим уравнение
#оЫ6,6) =?п(ЫЫ6;6), я0 = я2(б) + П6,6),
(47.3)
в котором координаты Ci медленной подсистемы играют роль параметров. Это уравнение определяет энергии ?n(Ci) и волновые функции (рп(?2, Ci) стационарных состояний быстрой подсистемы при фиксированных значениях координат Ci медленной подсистемы. Если решения этого уравнения найдены, решения уравнения (47.2) можно искать в виде
ф(&, 6) = Е 6). (47.4)
п
Подставим (47.4) в уравнение (47.2), умножим обе части уравнения на у4(?2; Ci) и проинтегрируем по ^2, принимая во внимание (47.3) и ортонормированность функций Ci)- В резуль-
тате приходим к системе уравнений
(#i(Ci) + em(Ci) ~ Е)Фт{^) = Qm, (47.5)
где
д™=#1(Ы<ыы-Е/ ^(б;а)Я1(а)Фп(а)^(б;а)^2-
п J
(47.6)
Система уравнений (47.5) эквивалентна исходному уравнению Шредингера (47.2). Если правые части от этих уравнений могут считаться малыми, систему можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении, когда от полагается равным нулю, получаем
(я1(е1)+?т(е!))Фпг,(б) — Егпъ'Ф mi; (Ы- (47-7)
Это приближение называется адиабатическим. В этом приближении система уравнений (47.5) распадается на независимые уравнения, каждое из которых определяется каким-либо собственным значением ?m(Ci) гамильтониана Но. При этом волновая функция системы согласно (47.4) есть
ФтшДСъ Ь) = ^mzy(Cl)^m(C2; Cl)? (47.8)
222
Раздел 3
т. е. каждому состоянию движения (рт(^2; ?i) быстрой подсистемы соответствуют состояния движения Фтг,(?i, ?2) всей системы, различающиеся квантовыми числами v. Уравнение (47.7) имеет вид уравнения Шредингера для функции <?mz,(?i), причем ?m(^i) играет роль потенциальной энергии, а Ети есть энергия стационарного состояния всей системы.
В § 57 мы получим в адиабатическом приближении уравнения для нахождения стационарных состояний простейшей молекулы я+
§ 48. Квазиклассическое приближение
Это приближение позволяет сформулировать метод приближенного решения уравнения Шредингера, основанный на использовании малости постоянной Планка h.
Рассмотрим одномерное движение частицы в поле с потенциальной энергией V(x). Соответствующее стационарное уравнение Шредингера имеет вид
1р"(х) + (2/л/П2)(Е - V(x))ip(x) = 0. (48.1)
Будем искать его решение в виде
ф(х) = ехр^ст(ж) j, (48.2)
где сг(х) — некоторая функция, имеющая размерность действия. Будем ее называть фазовой функцией. Подставляя (48.2) в (48.1), получаем для нее уравнение
(сг')2 — iha" — р2(х) = 0, (48.3)
где
р(х) = [2fi(E - V{x))\ 2 (48.4)
есть классический импульс частицы с массой (.i, находящейся в точке х. Это неоднородное нелинейное дифференциальное уравнение, конечно, эквивалентно исходному уравнению Шредингера.
Предположим, что в некоторой задаче фазовую функцию
можно представить в виде разложения по параметру h/i:
сг(х) = cr0(x) + (h/i)<ri(x) + (h/i)2(72(x) + . .. (48.5)
Лекция 13
223
Подставляя это разложение в уравнение (48.3) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях Н, получаем систему уравнений для компонент фазовой функции
(а'0)2=р2(х), (48.6)
2о>1 + = 0, 2ст'ст' + (ст')2 + ст" = 0 .... (48.7)
Сравнивая (48.6) с (48.3), мы видим, что пренебрежение всеми компонентами фазовой функции, кроме сго(х), соответствует пренебрежению в уравнении (48.3) членом iha". В свою очередь, это возможно, если выполняется неравенство
