Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
имеющими mz = — ^. Легко видеть, что тот же результат получается из (45.26), если для Р = 1 считать, что в первом случае Р параллельно, а во втором — антипараллельно п.
Варианту 3 соответствует Р = 1, Р _L п. Результат совпадает с (45.27).
Варианту 4 соответствует Р = 1, Рп = cos#, где в — угол между «направлением» спина частицы и осью прибора. Согласно (45.26) в этом случае имеем
W(+1/2)= cos2 W(-1/2) = sin2 (45.31)
что, конечно, совпадает с (44.10).
212
Раздел 2
Далее рассмотрим вариант, когда спин половины всех частиц «направлен» под углом 0 к оси прибора, а спин другой половины частиц имеет противоположное направление (это есть обобщение варианта 2). Тогда из (45.31) получаем
»-(+l/2)=i(cc.s2f+cos^)=I,
»'(-1/2) = |(sm2 | + sill2 5^) =
т. е.
W(+1/2) = W(-1/2) = i (45.32)
Мы видим, что вне зависимости от направления в интенсивности обоих выходных пучков одинаковы.
Этот вариант интересно сравнить со случаем (В), поскольку в этом случае интенсивности пучков на выходе тоже одинаковы при любой ориентации оси прибора Штерна-Герлаха. Смешанное состояние частицы с Р = 0 экспериментально неотличимо от ансамбля частиц, половина из которых находится в чистом состоянии с определенным значением проекции спина на некоторое произвольное направление, а другая половина находится в чистом состоянии с противоположным направлением спина. Следовательно, такой ансамбль частиц может служить моделью смешанного состояния с Р = 0. Нетрудно видеть, что существует бесконечное множество таких моделей. Например 25 % частиц полностью поляризовано по оси г, 25 % — против оси г, 25 % полностью поляризовано по оси х, 25 % — против оси х. Все спиновые свойства таких моделей исчерпывающим образом описываются матрицей
плотности смешанного состояния (45.16), а именно р =
Упражнения к лекции 12
12.1. Пучок частиц со спином находящихся в состоянии с проекцией спина на ось г, равной mz = +i, попадает
в анализатор, состоящий из двух последовательно расположенных приборов Штерна-Герлаха. Первый из них пропускает только те частицы, которые имеют проекцию спина на ось х, равную
тх = +i, а второй сортирует их по величине проекции спина на ось z. Сколько пучков будет на выходе из анализатора и
Лекция 12
213
каковы будут их интенсивности по отношению к интенсивности входного пучка? Что изменится, если поменять местами приборы анализатора?
12.2. Две частицы со спином ^ находятся в состоянии
|SMs) с определенными значениями суммарного спина и его проекции на ось г. Найти спиновую матрицу плотности первой частицы в каждом из состояний | SMs).
12.3. Две частицы со спинами si = 1 и S2 = ^ находятся в состоянии | SMs) с определенными значениями суммарного спина и его проекции на ось г. Найти спиновую матрицу плотности первой частицы в состоянии |SMs) = 13/2 1/2). При каких значениях S и Ms спиновое состояние первой частицы является чистым?
12.4. Спины двух электронов антипараллельны. Найти матрицу плотности суммарного спина системы.
12.5. Рассмотреть прецессию собственного магнитного момента электрона в постоянном магнитном поле, если в начальный момент состояние спина электрона описывается матрицей плотности (45.10).
Раздел 3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ЛЕКЦИЯ 13
Точное решение уравнения Шредингера возможно только для некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам. При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций гамильтониана. В последнее время большое значение приобретают численные методы решения задач квантовой механики с использованием вычислительных машин. В этом же разделе мы рассмотрим только некоторые аналитические методы приближенного решения уравнения Шредингера, причем ограничимся случаем гамильтонианов с чисто дискретным спектром.
§ 46. Вариационный метод
1. Вариационный принцип
Рассмотрим функционал
пф,ф*) = jr{mmdi, (46. i)
где Н — гамильтониан системы, ф(?) — произвольная функция из пространства состояний L2. Покажем, что экстремали этого
Лекция 13
215
функционала при дополнительном условии нормировки
I ф*{?)ф{?№ = 1 (46.2)
совпадают с нормированными решениями стационарного уравнения Шредингера
Нф = Еф. (46.3)
Действительно, необходимым условием экстремальности функционала (46.1) при дополнительном условии (46.2) является равенство нулю вариации:
5{J№, ф^-xj Ф*(0Ф(0 dO = 0, (46.4)
Л — неопределенный множитель Лагранжа. Раскрывая это усло-
вие, получаем
16ГЮНф(0<% + I ф*(0H5ф(0di-~xf 8Г(0ФЮ<%- X J ф*Ю5ф(?)<% = 0.
Используя эрмитово сть гамильтониана, приводим это уравнение к виду
J 5ф*(0(Нф - Хф) <% + J 5ф(Н*ф* - Аф*) <% = 0.
Поскольку это равенство должно выполняться при произвольных независимых вариациях 8ф* и 5ф, получаем
Нф = Хф, Н*<ф* = А ф\
Эти уравнения эквивалентны, так как А* = А в силу вещественности всех собственных значений эрмитова оператора.
Вводя обозначение А = Е, получаем стационарное уравнение Шредингера (46.3)
