Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
208
Раздел 2
В противоположном случае, когда Р = 0, спиновая матрица плотности пропорциональна единичной матрице:
Такая матрица инвариантна относительно любых унитарных преобразований и, в частности, относительно любых поворотов системы координат. Состояние, описываемое матрицей плотности (45.16), есть состояние неполяризованной системы: никакое направление в пространстве не выделено по отношению к любым спиновым характеристикам этого состояния. В промежуточном случае, когда Р < 1, но Р > 0, говорят о частично поляризованной системе.
Мы рассмотрели свойства спиновой матрицы плотности для
системы со спином (моментом) s = ^ и видим, что они полностью
определяются вектором поляризации системы R. Если момент
системы больше то общая параметризация спиновой матрицы
плотности оказывается более сложной, чем (45.10). Легко подсчитать, учитывая требование эрмитовости р и условие Sp р = 1, что матрица р размерности (25 + 1) х (25 + 1) содержит 45(5 + 1)
независимых вещественных параметров. При s = ^ это число
равно 3; здесь в качестве трех независимых параметров мы взяли три компоненты вектора поляризации Рх, Ру, Pz или три эквивалентные величины Р, в, ср. При 5 = 1 оно уже равно 8. Поэтому матрица плотности
которую можно было бы построить по аналогии с (45.10), не соответствует при 5 = 1 самому общему случаю; в общем случае для описания спинового состояния системы со спином 5 = 1 недостаточно задать только вектор поляризации Р.
4. Собственные значения спиновой матрицы плотности
(45.16)
(45.17)
Согласно § 29 каждое смешанное состояние системы можно, рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний, которые являются собственными состояниями статистического one-
Лекция 12
209
ратора; статистические веса этих чистых состояний равны соответствующим собственным значениям статистического оператора (матрицы плотности).
Найдем собственные значения рп и соответствующие собственные функции грп операторов (45.10), (45.15):
Pi = \{l + Р), Р2 = \{1~Р), (45.18)
(45.19)
(здесь в и р — углы вектора Р). Сравнивая (45.19) с (40.26), видим, что собственные функции статистического оператора произвольного спинового состояния частицы СО СПИНОМ i являются
собственными функциями оператора проекции спина на вектор поляризации состояния Р: ^ = 11/2, sр = 1/2), ^2 = 11/2, sр = = -1/2).
В частном случае Р = 0 из (45.18) имеем
Pi=P2 = \, (45.20)
т. е. статистические веса обоих чистых состоянии одинаковы. Однако в этом случае функции (45.19) не могут быть использованы в качестве собственных функций р, поскольку углы в и р не определены. Легко видеть, что любой нетривиальный спинор является собственной функцией единичного оператора I. Поэтому в отсутствие поляризации имеется полная неопределенность в выборе тех чистых состояний, из которых построено смешанное состояние (р = 1/21).
5. Еще раз об опыте Штерна-Герлаха
С помощью спиновой матрицы плотности можно очень просто описать всевозможные ситуации в опыте Штерна-Герлаха. Пусть вектор n = (пх, пу, nz) = (sin в cos Ф, sin в sin Ф, cos#) задает направление оси прибора. Найдем распределение W(sn) проекции спина частицы на это направление при условии, что
210
Раздел 2
частицы, попадающие в прибор, описываются матрицей плотности р. Согласно (29.14) искомое распределение вероятностей дается формулой
W(sn) = Sp(pPsJ, (45.21)
где ^
PSn = |s, sn)(s, sn| (45.22)
есть оператор проектирования на состояние |s, sn), являющееся собственным состоянием оператора проекции спина на направление п.
Пусть s = Тогда согласно (40.26) имеем
cos -
И/2' Sn = 1/2) = . „ 2,t
\ sin | • ег
Sin-
|l/2, Sn = -1/2) =| e2
— cos - •e
(45.23)
cos2| й й cos | sin |е 'l
! sin |е,ф sin2!
sin2! й й — sin - cos -
i!cos!e» C°s2f
э — гФ '
(45.24)
(45.25)
Подставляя (45.24) и (45.25), а также (45.10) в (45.21), находим
W(± 1/2) = |(1 ±Рп). (45.26)
Рассмотрим частные случаи.
(А) Р _L п. В этом случае
W(± 1/2) = | (45.27)
при любом Р (в частности, при Р _L п результат не зависит от того, в чистом или смешанном состоянии находятся частицы).
Лекция 12
211
(Б) Р || п. В этом случае
W{±l/2) = |(1±Р). (45.28)
При Р = 1, т. е. для чистого состояния, имеем
W{+1/2) = 1, W(-1/2) = 0, (45.29)
т. е. на выходе имеется только один пучок.
(В) Р = 0. Имеем для любого п
W(± 1/2) = (45.30)
Сравним полученные результаты с результатами мысленных экспериментов, рассмотренных в § 44.
В варианте 1 рассматривался случай, когда все частицы имели определенное значение mz = ^ проекции спина на ось прибора. Это значит, что частицы находились в чистом состоянии; модуль вектора поляризации каждой из этих частиц есть Р = 1, причем Р || п. Следовательно, это есть случай (Б). Результат (45.29), конечно, совпадает с результатом варианта 1.
В варианте 2 рассматривался случай, когда половина частиц
находилась в чистом состоянии с mz = +i, а половина — в чистом состоянии с mz = — Поэтому результат опыта Штерна-
Герлаха W(+l/2) = W(—1/2) = ^ получался путем простого сложения результатов двух последовательно проводимых опытов: сперва с частицами, имеющими mz = +i, а затем с частицами,
