Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
фр(г) = (27г/г,)_3/2ехр^|рг) (18.2)
есть нормированная в соответствии с условием полноты обобщенная собственная функция оператора импульса частицы в ж-пред-ставлении. Теперь рассмотрим функцию _р(ж)ф(г, t), заданную в ^-представлении. В р-представлении ей соответствует некоторая функция
А(р, t) = (^Р(г)|^)ф(г, t)) = фЫфр(г)|Ф(г, t)). (18.3)
Мы воспользовались здесь общим определением (18.1) и свойством (Д2.6) эрмитова оператора. В силу взаимно однозначной связи функций одного и того же состояния в х- и р-представлени-ях действие оператора F^ на функцию а(р, t) должно приводить к той же функции А(р, t), т. е.
Fwa(p, t) = Л(р, t). (18.4)
Подставляя сюда (18.1) и (18.3), получаем соотношение
^)(^р(г)|Ф(г, t)) = <?(*^р(г)|Ф(г, *)), (18.5)
устанавливающее связь между операторами F^ и F(x\
Найдем явный вид оператора р(р) импульса в импульсном представлении. В координатном представлении для оператора импульса имеем
P(xtyp(r) = -iWr(27rft)-3/2exp(|pr) = р^Р(г).
Подставляя это соотношение в (18.5) и используя (18.1), получаем p^a(p, t) = ра(р, t). (18.6)
72
Раздел 1
Поскольку это равенство выполняется для произвольной функции а(р, t), получаем
РЬ)=Р, (18.7)
т. е. действие оператора импульса на любую функцию в р-пред-ставлении сводится к умножению ее на независимую переменную в этом представлении р.
Далее найдем явный вид оператора г^ координаты в импульсном представлении. В координатном представлении для оператора координаты имеем
— — / • \ _з / • \
?^Vp(r) — г(27гК) 2 exp^prj = —Ш\7р(2тгН) 2 exp^prj,
т. е.
Г^^р(г) = -ЙУр^р(г).
Подставим это соотношение в (18.5), используя (18.1):
r^a(p, t) = ((-гЙУр^р(г))|Ф(г, t)) = iWpa(p, t), (18.8)
откуда находим
f^=iWp. (18.9)
Следовательно, действие оператора координаты на любую функцию в р-представлении сводится к дифференцированию по независимой переменной р и умножению на константу ih.
Легко проверить, что найденные операторы р(р) и удовлетворяют перестановочному соотношению (3.5).
Теперь рассмотрим важный вопрос о соотношении импульсного и координатного представлений. На первый взгляд кажется, что имеется асимметрия во введении понятий х- и р-пред-ставлений. Действительно, согласно (18.1) волновая функция в р-представлении вводится через скалярное произведение волновой функции состояния (в координатном представлении) и обобщенной собственной функции оператора импульса ^р(г) (тоже в координатном представлении). В то же время волновая функция состояния в ^-представлении вводилась у нас как первичное понятие. На самом деле никакой асимметрии нет, поскольку волновая функция в ^-представлении тоже может быть представлена в виде скалярного произведения, содержащего обобщенную собственную функцию оператора координаты.
Найдем обобщенные собственные функции оператора координаты:
= рМО (18.10)
Лекция 4
73
Проще всего это уравнение решается в импульсном представлении. Используя (18.9), записываем его в виде
Шрфр(р) = рфр(р). (18.11)
Сравнивая это уравнение с уравнением (15.2), видим, что они отличаются только обозначением независимой переменной и знаком перед мнимой единицей. Поэтому аналогично (15.6) получаем
ФР{ Р) = (2тг?1)_3/2ехр(—|р р). (18.12)
Это есть нормированная в соответствии с условием полноты обобщенная собственная функция оператора координаты в импульсном представлении, соответствующая точке непрерывного спектра г = р. Конечно, найденное решение не может описывать какое-либо реальное состояние, что находится в полном соответствии с тем, что не существует ни одного состояния с определенным значением координаты (см. § 5).
С помощью (18.1) можно легко перевести функцию (18.12) в координатное представление:
фр(г) = 5(г - р). (18.13)
Это есть нормированная в соответствии с условием полноты обобщенная собственная функция оператора координаты в координатном представлении. Нетрудно видеть, что она удовлетворяет условию (2.17) ортонормированности функций непрерывного спектра:
f Фр^Фр'^сРг = 5(р-р'). (18.14)
Согласно (Д4.12) для произвольной функции Ф(г, t) можем написать
ф(р> t) = J ф*р{г)ф(г, t)d3г. (18.15)
Это значит, что любая волновая функция в координатном
представлении всегда может быть представлена в виде скалярно-
го произведения типа (18.1) с обобщенной собственной функцией оператора координаты.
Конечно, в этом скалярном произведении обе функции должны быть взяты в одном и том же представлении. В данном случае это ^-представление. Покажем, что при переходе к импульсному
74
Раздел 1
представлению результат не изменится. Волновая функция состояния в р-представлении дается формулой (18.1). Найдем скалярное произведение этой функции с обобщенной собственной функцией оператора координаты в ^-представлении:
(Vv(p)Hp, t)) = J 'фр(р)а(р, t)d3p.
Подставляя сюда (18.12) и (18.1), находим
(?/v(p)Kp, t)} = Ф(р, t). (18.16)
Сравнивая этот результат с (18.15), видим, что скалярное произведение действительно не зависит от выбора представления.
Таким образом, координатное и импульсное представления эквивалентны как с точки зрения описания состояний физических систем, так и в отношении структуры соответствующих математических выражений.
