Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Если область первоначальной локализации частицы очень велика (Ъ —> оо), расплывание пакета происходит настолько медленно, что в течение большого промежутка времени не происходит заметного изменения дисперсии Dx, причем Dp —> 0. Следовательно, в этом случае свободное движение частицы очень похоже на распространение монохроматической плоской волны. Увеличивая 6, можно сколь угодно приближаться к состоянию плоской волны, однако состояние с Dp = 0 не может быть реализовано никогда. Заметим, что дисперсия координаты Dx(t) согласно (16.17) не зависит от среднего импульса частицы ро. Поэтому рассмотренная картина расплывания пакета имеет место и в том случае, когда частица в среднем покоится (p(t) = 0, x(t) = xq).
§17. Инфинитное движение в поле прямоугольной потенциальной ямы
В § 14 мы показали, что стационарное движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме возможно только в некоторых специальных состояниях при определенных отрицательных значениях полной энергии. При этом движение всегда финитно.
Все другие состояния являются нестационарными. В зависимости от начальных условий движение может быть как финитным, так и инфинитным. В качестве примера инфинитного движения рассмотрим движение частицы, начальное состояние которой при t = 0 задается волновой функцией (16.10), причем будем считать, что координата хо, определяющая исходное положение частицы, лежит далеко вне ямы слева от нее.
Эволюция состояния полностью определяется уравнением Шредингера и начальным условием:
дф(х, t) д2гр
Л-а^ = -щ;а? + УШ'
*{х'0) = ехНкпх)
(17.1)
2 N
В данном случае задача оказывается достаточно сложной и не может быть решена аналитически. Поэтому мы рассмотрим результаты численного решения задачи (17.1) для некоторых харак-
Лекция 4
69
терных моментов времени. На рис. 8 изображена плотность координатного распределения р(х, t) = \ф(х, t)|2 для этих моментов времени.
Рис. 8. Инфииитиое движение частицы в поле прямоугольной потенциальной ямы
При ро > 0 частица начинает двигаться, приближаясь к потенциальной яме. В интервале 0 < t < t\ происходит свободное движение волнового пакета. При этом в соответствии с § 16 происходит его «расплывание». При t = t\ пакет входит в область взаимодействия. В результате взаимодействия к моменту t = пакет «раздваивается»: одна его часть продолжает движение в первоначальном направлении, а другая испытывает «отражение». Подчеркнем, что как прошедший, так и отраженный пакеты соответствуют состоянию одной и той же частицы, т. е. частица как бы «размазывается» по обоим пакетам. К моменту t = t$ оба пакета настолько далеко находятся от области взаимодействия, что могут считаться свободными.
Вероятность того, что частица окажется в отраженном пакете, называется коэффициентом отражения R. Вероятность оказаться в другом пакете называется коэффициентом прохожде-
70
Раздел 1
ния Т. Из условия нормировки волновой функции на единицу имеем
Д + Т = 1. (17.2)
При фиксированной ширине ямы соотношение между R и Т зависит от отношения средней энергии частицы к глубине ямы: при возрастании этого отношения коэффициент Т увеличивается, стремясь к единице. Отметим, что при движении классической частицы с положительной энергией всегда Т = 1, т. е. нет классического аналога явлению отражения квантовой частицы.
§ 18. Импульсное представление. Эквивалентность импульсного и координатного представлений. Уравнение Шредингера в импульсном представлении
В § 15 при нахождении импульсного распределения в состоянии Ф(г, t) мы ввели функцию а(р, t), которую назвали амплитудой импульсного распределения. Согласно (15.9) она связана с функцией Ф(г, t) преобразованием Фурье, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие этих двух функций. При этом в силу (15.10) обе функции нормированы на единицу. Следовательно, а(р, t) и Ф(г, t) дают эквивалентное описание заданного состояния физической системы. Поэтому а(р, t) называют волновой функцией состояния в импульсном представлении (р-представление), а Ф(г, t) — волновой функцией того же состояния в координатном представлении (^-представление).
Итак, с помощью преобразования Фурье мы можем все функции пространства состояний 1/2, заданные в координатном представлении, перевести в импульсное представление. При этом преобразовании сохраняется квадратичная интегрируемость функций. Поэтому множество всех функций в р-представлении тоже является пространством 1/2. Действительно, изменение представления эквивалентно использованию другого набора динамических переменных, а их явный вид при определении пространства 1/2 не существен.
При изменении представления изменяется вид операторов. Обозначим через эрмитов оператор некоторой физической величины F в координатном представлении, а через F^ — оператор этой же величины в импульсном представлении. Найдем связь между ними.
Лекция 4
71
Согласно (15.9) волновой функции Ф(г, t) некоторого состояния в ^-представлении ставится в соответствие волновая функция в ^-представлении:
а(Р, t) = (^Р(г)|Ф(г, t)), (18.1)
где согласно (15.6)
