Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
ЛШ- = - Р. (2.49)
dz с
Введем в рассмотрение поток P и плотность р энергии согласно известным соотношениям:
р = JL [EH), р = ~ (е?* + Hi). (2.50) 4л 8л
Тогда
еЕг = 4л у р + |/ P2--^r
Hc пользу я (2.48) и (2.49), приходим к уравнениям для P и р:
dp 4лCt0
_ р dz с2 ’
dP 4яст0
dz ~~ г
+ |/P2рг) • (2.51)
Запишем уравнения (2.51) для потоков P1 и P2, распространяющихся в противоположных направлениях. Так как
P = P1-Pi, р= JJL- (P1 + Pjt
то эти уравнения имеют вид:
—^=- (Рг+УР^г), су г
(2.52)
(P2 + VpK)-
су г
Сравнивая уравнения (2.52) с (1.12), приходим к выводу, что строгое рассмотрение уравнения переноса лучистой энергии приводит к появлению некоторого нелинейного члена в правой части.
dP1
dz
dP2
dz
47
Как показано в [28], основное различие между решением уравнения переноса типа
P1 (z) = P1 (0) exp I-----4—% 4 ^ pI (°) e^v'2
I Cje J
и решением уравнений Максвелла для данного случая заключается в различии показателя поглощения на величину
Д*- _____2Im,= *!$- (-L -
с у е с I у е п.
Ve (Уе + II1) С
(2.53)
(? и /I2 — действительная и мнимая части показателя преломления среды соответственно).
Действительно, при п2<^ 1, т. е. для слабо поглощающих сред, решения совпадают и приближение геометрической оптики справедливо.
С увеличением поглощающей способности среды и при учете нестационарности отличие решения уравнения переноса излучеиия от решения уравнений Максвелла становится существенным и возникает необходимость рассмотрения нелинейных уравнений переноса излучения Tjpna (2.52).
Уравнение переноса становится нелинейным и в случае, когда нельзя пренебречь влиянием излучения на состояние вещества. При распространении мощного излучения, например излучеиия оптических квантовых генераторов, необходимо учитывать зависимость коэффициента ослабления от плотности радиации. Этот сравнительно недавно возникший раздел теории переноса излучения рассмотрен в гл. 7.
Следует отметить важность учета явления перераспределения излучения по частотам. Дело в том, что до 50-х годов нашего столетия при решении задач теории переноса лучистой энергии широко использовался метод диффузии. Аналогия распространения фотонов и диффундирования классических частиц вполне очевидна. Однако это предполагает, что фотоны имеют одну и ту же длину свободного пробега и, кроме этого, закон распространения фотонов должен носить дифференциальный характер. Первое обстоятельство не учитывает воз-
48
можность различия свойств фотонов с разными частотами. Для реальных случаев поглощение каждого фотона определенной частоты характеризуется вполне определенным коэффициентом поглощения. С другой стороны, результирующий поток лучистой энергии, приходящий в данную точку, является функцией от координат точек, из которых исходят лучи, и закон диффузии фотонов в среде носит существенно интегральный характер.
Важной особенностью распространения фотонов в среде является то, что после поглощения кванта данной частоты он может переизлучаться с некоторой другой частотой. Вероятность подобных процессов определяется физическими процессами, происходящими в данной совокупности элементарных квантовых систем. Явление перераспределения излучения по частотам при взаимодействии излучения с элементарным объемом вещества приводит, по существу, к нарушению закона сохранения энергии для квантов одной частоты, в то время как обычное уравнение переноса, для которого постулируется неизменность частоты кванта при взаимодействии с веществом, является его непосредственным выражением.
Уравнение переноса излучения с учетом перераспределения излучения по частотам и его состояния поляризации можно записать в следующем виде [22]:
dstir^r- V) «»(г, I. v) Sk (г, I, V) =
k
ОП
= jV(r, V, vf) dv' j’2D*(r’ '* v: Vt V')Sh X
О (4я) к
X (г, Г, v') —Ь Si (г, I, v) (2.54)
4я
(і, ft = 1, 2, 3, 4).
Граничными условиями для системы уравнений (2.54 являются:
Sj (г, I, v) Jr=R,(in)<o =S*H(10, v0). (2.55)
Уравнение переноса излучения в виде (2.54) учитывает основные закономерности распространения излучения в исследуемом веществе.
4. К. С. Адэерихо
49
Кроме учета состояния поляризации излучения и перераспределения излучения по частотам, трудности решения задач теории переноса излучения в сильной степени определяются геометрической моделью исследуемого объекта, а также чрезвычайно сложной спектральной структурой коэффициента ослабления Ctv (гл. 1, § 4, 5) и возможной его зависимостью от координат. Поэтому весьма целесообразным является исследование простейших частных случаев сформулированного в этой главе уравнения переноса излучения. Методы решения этих простейших уравнений можно и в дальнейшем использовать для выяснения влияния различных факторов на характеристики излучения, выходящего из исследуемого объекта.
§ 5. Решение уравнения переноса излучения в одномерном случае
Уравненне переноса излучения (1.46) в настоящее время точно решено о двух частных случаях: для одномерной среды и для полубесконечной плоской среды CO сферической индикатрисой рассеяния (гл. 3).
