Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим случай одномерной среды. Пусть процессы поглощения и рассеяния происходят на некотором отрезке прямой длиной .гэ. Обозначим долю излучения, рассеянного назад элементом длины dx, через р. Естественно вместо интенсивности излучения / ввести величины 11 и I2 (/і — интенсивность излучения, распространяющегося вдоль оси х; /2 — в направлении, ему противоположном). Тогда необходимо для этих направлений определить и функции источников. Последние определяются собственным излучением элемента dx в соответствующем направлении и величиной излучения, рассеянного в том же направлении:
•
eI (*) = е01 W + (1 — р) U1 (X) + рХ,/4 (х), е2 (х) = е02 (х) -Ь (1 — Р) Ut (х) + P^i (х), (2.56)
ст ст
— =-------------вероятность выживания кванта.
а у. -{¦ ст
где X = 50
Уравнение переноса излучения в нашем случае представляет собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений [12]:
~ — h (т) + X 1(1 — р) I1 (т) + р/а (т)] + е0^у, .
Cn V. . ,J
¦' " (2.57)
-^f12 ^ = — /„ (т) + XIPJ1 (т) + (1 — Р) It (т)] + ео2 (т), ат
X X
Здесь т = J а (д;) dx = J [х(х) + а (х)] dx — оптическая
о ’¦ о
глубина рассматриваемой среды.
Граничными условиями для системы (2.57) являются:
Л (0) = I01 и /г (т0) = Iог> (2.58)
где т0 = J а (д;)dx — оптическая толщина всего слоя.
А
Для решения системы (2.57) введем новые функции, имеющие определенный физический смысл:
J = I1-T I2 и H = I1-I2. (2.59)
Величина J является удвоенной средней интенсивностью излучения, непосредственно связанной с плотностью излучения (1.4), а величина H по (1.7) —потоком излучения.
Складывая и вычитая уравнения (2.57), приходим к следующей системе уравнений:
— (1 — X) У + Z1,
dx
(2.60)
-j- = — [I — X (I — 2р)] H + /а, dx
где A=A (т) = е01 (т) + еоа (т), А =¦ А (т) = е0і (т) — е02 (т).
Анализ системы (2.60) показывает, что решения просто получаются, во-первых, при X = 1, т. е. в случае чистого рассеяния, во-вторых, при A=A = 0 и, наконец, в случае, когда индикатриса рассеяния сферическая (P= 1/2).
При X=I система уравнений (2.60) имеет виД
~=к, -^ = -2рЯ + А- (2.61)
у d'z dr
4*
51
Решение этой системы:
H = /]т -)- C1, J=iit— РЛ^2 2PC1T + C2.
Определяя постоянные C1 и C2 с помощью соотношений (2.58) и (2.59), находим, что
Я (т) = -2I7O1 - U +j>o + i_ у (2х—т0); (2.62а) 2(1 +Pt0) 2 ' ол V . /
у (т) = 2/рг [I + 2Р (т0 т)1 + 2/оа (1 + Pt) + /а (2т—тп)
2(1+Pt0)
+ у /і К+ 2рт(T0-T)J; (2.626)
I (т) = — (J + Н) = 2^о1 П +P (то т)] ~Ь 2Рт/02-г/2т 2 2(1+Pt0) •
+ у /.т[1 + Р(т0-г)]; (2.62b)
/2(т)^1(У-Я) =
= 2Р (т0 — т) /01 + 2 (I + Pt) I02 — /а (т0 — т)
2(1+ рт0)
+ Y Ji (T0 — т) (1 + Pt). (2.62г)
Полученные выражения для интенсивностей излучения /і(т) и /г(т), потока H (т) и величины /(т), пропорциональной плотности излучения, можно без труда проанализировать. Согласно (2.62а), поток излучения состоит из постоянной величины, определяемой внешним излучением и свойствами среды, и переменной, определяемой только разностью излучательныХ способностей единицы длины в разные стороны. Это естественно, так как для изменения (увеличения или уменьшения) потока излучения существенна лишь разность противоположных по знаку процессов образования световой энергии в
52
среде. Если эта разность равна нулю, поток излучения в среде постоянен и нет причин для его изменения. Соотношения (2.62) показывают, что существенная роль принадлежит параметру р, определяющему вес того или иного процесса. Кроме того, во всех соотношениях встречаются величины 1 + Рт, 1+РТо, 1+'Щто—т), что говорит
о вполне определенном нх физическом смысле. Это нетрудно показать.
Полагая I01 = I0 и I02 = 0, а также ео1 = ео2 = 0, можно найти коэффициенты отражения и пропускания исследуемой среды:
Г = Ъ 0 _ P-rQ— q == . Ш = ----------1---- . (2.63)
I0 1+Рт. h 1+Рт0
Тогда
H = ql0, Щ =I-J(O)= -1^j-J0,
Щ) = (то) = Y1q¦ (2-64)
Как и следовало ожидать, r + q=l, 776) — T(X0) = — (I Л-r — q)I0 = rl0. (2.65)
В случае e01=eo2 = 0 и "кф 1 система уравнений (2.60)
имеет ВИД
——- =—(1—Я.)«/, — =— [1— Ml-2Р)]Я. (2.66)
dx dr
Отсюда находим, что величина I (т) определяется уравнением .
AV(T) =0, (2.67)
dt2
где ' ______________________
k = У(1 — >.)[1 — 3.(1— 2р)]. (2.68)
Решением системы (2.66), следовательно, является J (т) = A1Ckx + А2е~кх,
53
л(т) =-------------!--------------"ill
I —X (I —2p) dx
I —X
A2e~kx).
R
Определяя A1 и A2 из граничных условий (2.45), находим:
Л<1) “ і ия*-*"-” +
+ Voi-/oite'kx')e-kTL (2.69)
;*(т) ^ 1(102 _/oi Re~kU) e“ft(t,_T) +
+ (^1 — 7OS Яе~*т],
где
R = -fe~1 +-¦ . (2.70)
k+1—ї.
Отсюда иаходим коэффициенты отражения и пропускания среды при к 1:
1 — e~2kT‘ (I-Ri) е~кт>
г = —------------R, q=^-------------------. (2.71)
1 — Re ^kT9 4 1_^2Є-2АТ,
Отсюда степень черноты слоя (или поглощательная способность слоя) равна
e=l-r-y = (l-fl) -1Tnr^-. (2.72)
I -)- Re—**»
