Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
* 0 v
=ф{е(т')}.
Таким образом, второе интегральное уравнение Милна имеет вид
P = Ф {е (т')}, (3.12)
где величина P задается условиями задачи.
Интегральный оператор Ф — второй оператор Милна. (Свойства интегральных операторов Милна обсуждаются в конце параграфа.)
Обратимся к проблеме Милна. Уравнение (3.8) можно решить для "К Ф 1 и R1Ф О методом Винера—Хопфа с помощью преобразования Фурье. Аналогичным путем Фок [29] впервые получил точное решение (3.10). Пусть уравнение (3.10) справедливо для —ооСтСоо. При получении решения будем полагать е (т) == 0 при т < 0, что -и будет соответствовать физическому смыслу задачи. Для 0 <т<;оо и —оо< т-с 0 введем два преобразования Фурье:
«о О
F+ (р) =J е (т) eipxdx и F~ (P) = J е (т) eipXdx. (3.13)
Умножая уравнение (3.10) на е‘рТ и интегрируя по т, приходим к соотношению
F+ (р) -г F~ (р) = arctg р \
P
ИЛИ
F+(p) ^ 1------1— arctg = —.F~(p). (3.14)
Исследование свойств регулярности исходных функций и применение интеграла Коши для интенсивности выходящего излучения приводят к выражению
по, IX, (X01) = ^oiZoi---01- - (3.15)
4л ц 4- JX01
59
где функция ф(ц) определяется соотношением
Представление, подобное (3.15), было ранее получено Амбарцумяном [30], а функция ф((х) с тех пор называется функцией Амбарцумяна.
Свойства интегрально-показательной функции и интегральных операторов Милна
1. Интегрально-показательная функция En (х).
00
р P-XS
^nW= I -рг-*(*>0, П>0);
1
х
Еі (х) = -eI (— х) • Ei M = і — ds\
J s
— OO
I X2 I г" I X*
E1(X) = -C- 1пЫ + *—— . — .
1 2 21 З ЗІ 4 41
\ X2 I у8 Ix'
E1 (*) = с + In |*| + х + — • — + — • — -J-------
t w т і 1 г ' 2 21 З 3! 4 4і
(с = 0,5772156 ... — постоянная Эйлера);
*-*0, E1 (ж) ~ In —, Ei (х) ~ In |хі;
1*1
х -* да, E1 (х) ~ X-1 е~х, Ei (х) ~ х~'е~х;
1 1 1-2 1-2-3
*>1. E1 W 3в-(___
со
пЕя+і (*) ~е~х-хЕп (х), Еп+1 (д) = j En (х) dx, dAzjl^L=-En(X).
Функции E1 (х) и Et (х) графически представлены на рис. 7. На практике часто используют приближенное соотношение:
E1 (х) = ]/3 ехр (— • х).
60
Рис. 7. Функции Ei (.г) (кршзая I), Ei(X) (2) н УЗ ехр (-УЗ*) (3)
2. Свойства первого интегрального оператора Милна 1 °°
л {f (*')} = T fEi ~ f (д;,) dx ’
о
OO
л0 {f (*')) =л (f) =у j Ei (*') f (*')
о
OO
I f 1
A0 {с} = — с J E1 (х') dx' = — с;
О
OO
л» {«'} = у с j* *'?i (*')dx' = \с [*'?і (*') 0 —
о
OO
— j1 ?а (*')<**'J = ~С\
о
OO OO OO
Ло{е-«'} = у (*')<**' =1 у j* e-(c+s)-*'d*' =
(I)
(2)
(3)
1 О
= -ln(l+c);
(4)
61
M X
л (с) = — С I E1 (|jc—*'|) dx’ - — с [ §Ei(x~ x')dx' + о о
OO OO X
+ Jf1 (х' — x)dx’ j = ¦— с j ds j* e^'dx' + х І О
+ ^ ~— ds J e~sx'dx' J =
\- — Ег(х)
Л I cx
d_
dx
’} = c[x+ JEs Wl‘
Функции A{fn(x')} протабулироваиы Кургановым [31].
3. Определение коммутанта^ j-, Л j. Покажем, что
?л{/<л}-л{^)-|яо>?,м.
о __
+ f (X1)E1 (X' —x)dx'— j* ) E1 (x--x')dx' — Л О
)4{-fe™+
+ /(Ar7)E1 (л — х')
(5)
(6)
(7)
X' X
J JC' —X
-I(X1)E1(X^-X)
-F(X1)E1(X-Xt)
+HO) E1(X) +
С f (xf)
о
62
+ /(*') E1 (*'-*) I- j‘ ~Гх e-(*' -W j = ~ f (O) E1 (x),
X
что и требовалось доказать. Как видно из доказательства, функция1 / (х) должна с ростом х возрастать ие сильнее, чем Xex.
4, «Симметрия» оператора Л.
OO M
J/(т, а) Л {/(т', P)}dT= jf(x. Р)Л{/(Т', а)} dx. (8)
о о
OO OO
/=|/(т, а)Л{/(т\ P)}rfT-J/(T, Р)Л{/(Т;, a))dx = о о
= ~2 \dx\dT' ^ (т’ а) /(т- ^ f (т'> a)1 ?i(iT —T'D =
О о во т
= Y jdT \dx'lf(x, a) fix', Р)-/(Т, Р)/(Г', а)] E1 (T-T') +
O о
•О ео
+ Y JdT Jdr'[/(Т, а)/(T', P)-/(т, р)/(T', а)] E1 (х' — т) =
OO т'
= Y I**' j*dT[/(T'> а) / (т- Р)~/(*'. Р) / (т, а)] (т' — т) +
0 0
00 00
+ T Jdx' IdT ^ ^' а) ^т’ ^ ~ ^(т'’ ^ ^^т’ a)1 ?l (х ~ т ) =
О X
00 00
= ~2~\dx' j*rfx^ (т> Р> — / (т' - РШТ> <*)1Еі(Іг—х'І)=—І,
о о
/ = — /, / = O1 что и требовалось доказать.
5. Свойства второго интегрального оператора Милна.
•> *
Ф {/(х')} = 2 (*')?,(*'-*) <k-2 § f (х')Ег (x’-x)dx’. (9)
-с О
63
Фо {/(*')} =ф {/(*') Ix-O =2 J fix') Ei(Xr) dx'. (10)
О
О OO
• л 2
ф0 {с} = 2с ^ E2 (x')dx' = с, Ф0 {сх'} = 2с \х' E„(x')dx' =—с,
і J .J “ * О
0 0
•о
%{Е2(х')} =2 ^ Е2(х') dx'=Y (1 1п2), |(11)
Ф0 [E3 (х’)} = 2 \ Et (х') E3 (х') dx' = -j.
оо X
Ф {с} = 2с [ j Es(x' — x)dx' — j Ei(x—x')dx' j = 2cE3 (x),
x 0
OO X
Ф {ex'} = 2c J x'E2 (x' — x) dx' — j* x'E2 (x — x') dx' j =
(12)
= Uc
2 I
(13)
так как
_d_ dx
Ф i/V)} =2 { j E1 (*' - x) f (X') dx' - E2 (X'-x) f (.Ol,, +
X
X
+ J E1 (x — x') f (Xt) dx' — E2 (x — xf) f (*')!*'-*} =
о
00
= 2( ^F.l(\x-x’\)f(x')dx'-2f(x) }=4[A{f (*'))-/(*)]•
§ 2. Аналитический метод Амбарцумяна
Идея метода Амбарцумяна [30] заключается в преобразовании первого интегрального уравнения Милна в нелинейное интегральное уравнение относительно функ-
