Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
64
ции /(О, ц), выражающейся непосредственно через <р(ц) (3.16). Несколько позже [32] Амбарцумяном был^ показано, что подобное уравнение для интенсивности излучения можно получить из чисто физических соображений (§ 3 настоящей главы). '
Метод Амбарцумяна основан на некоммута Явности первого интегрального оператора Милна А и дифференциального
оператора . По формуле (7) § 1 имеем: „-к
dx
А {е (т')> - А (-^Ц = -Lj. (0) E1 (т). (3.17) rfx I dx J 2 .
Так как
d& (т)
то
или
dx dx
dz (X) = A fde (t') j + е (0) Еі (т)
dx I dx' І 2
л—TS
е'(т) = А{е'(т')} + — е (0) ( g ds. (3.18)
2 Js
Соотношение (3.18) является неоднородным интегральным уравнением, причем второй член справа можно представить как суперпозицию членов типа A (k) ё~хк, где A (k) =
=------е(0). Если положить
2k
е(т, ?)=А{е(т', &)} + <Гт\ - P (3.19) то, интегрируя это выражение с весом A(k), получаем:
OO OO
4 f f A (k) е (т, k)dk = а{ [ A (k) z(x', k) dh\ +
'f \ \ і OO
+ j A(k)e~%kdk. (3.20)
I
5 К. С. Адэерихо . 65
Сравнивая уравнения (3.18) и (3.20), можно сделать предположение*^, что выражение
е' (т) = j" А (k) е (т, k) dk
(3.21)
V
является решением уравнения (3.18).
Применим к (3.21) преобразование Лапласа:
OO
Lif (t')} = sj f (t') e~ST'dx'.
о
Учитывая, что L {е' (т')} = sL {е (т')} — se (0), находим:
•о
sL {е (т')} — se (0) = j A (k) L {е (т', k)} dk. і
Обозначим L {е (т7)} = 6 (S) и L {е (т', k)} = b (s, k). Тогда
OO
sb (s) — se (0) = j А (k) b (s, k) dk, і
где A(k) = e(0)/2k.
Отсюда находим уравнение для b (S):
b (S) = в (0)
1
1 +
1
OO
і
b(s, k) sk
dk
(3.22) *
Величина — b (s, k) обладает замечательным свойством, s
позволяющим непосредственно прийти к окончательному результату. Оказывается, величина
Ь (s, k)
R (s, k)
(3.23)
симметрична относительно перестановки своих аргументов: R(s, k)==R(k, s). (3.24)
*) Это предположение, как показано в конце этого параграфа, действительно выполняется.
66
Покажем это. По определению:
OO ео
R (s, k) = f є (т, k) e~Xs dx н R(k, s) = J е (х, s) e~xkdx. о о
Нетрудно показать, что
во от
[е(т, s)A{e(x', &)}dx = j е(т, k)A{e(x', s)}dx (3.25)
о о
(см. формулу (8) § 1) и поэтому из соотношений 00 00
Jє (г, к)г(т, s) dt = (т, s)A{e(x', k)} dr +
о о
00
-j- j* е~тк е(т, s)dx
о
и
00 00
[е(т, s) е (т, = Je(x, 6)Л{е(т\ s)}dx +
о о
•о
4 J e~xse (х, k) dx
приходим к свойству (3.24).
Таким образом, по (3.22):
OO
6(s) = e(0) I + i- J R(s, k) . і
Полагая в (3.19) т=0, находим:
OO
е(0, к) = Л0{е(т\ к)} + 1 = у-?“х(т)е(т, k)dx+l =
о
OO OO
= I + ~ Je (т ’ j* =
О 1
5* 67
Аналогично находим
OO
в (О, s) = I + i-J я (s, k)~ . (3.26а)
і
Тогда (3.22) можно переписать в виде
ft (S) = в(0) в (0, s). (3.27)
Последнее соотношение имеет вполне определенный физический смысл. Действительно,
00
Ь (s) = L {е (т')} = s j" е (т) e~sX dx.
0
Полагая здесь S= 1/ц, находим, что
" T
ft (^-) = j е(т)е_тг—, (3.28)
о И
а это по (3.7) есть не что иное, как интенсивность излучения, выходящего из бесконечного слоя, если левую полусферу считать положительной. Поэтому нам необходимо установить смысл величин е (0) и е (0, s), которыми определяется b (s)~ I (0, ц).
Применим свойство (3.17) к функции е (т, ft):
— Л{е(т', ft)} — Л дг^'' ftM--1 dx
дх
1 ;
Ho, в силу (3.19),
Л {е (т', ft)} = е (т, ft) — е-хк.
Поэтому
е' (г, ft) = Л (e' (т', ft)} — for-**+ j A (ft, ft') e-rt' dk\ (3,29)
где
A(k, ft') = ^e(°> *)•
Проинтегрируем (3.19) no ft' с весом i4(ft, ft'):
OD oo
je(x, ft') л (ft, ft')dft' = A{Je(x', ft') л (ft, ft') dft'j +
00
^ + ^/I (ft, ft')e-T*'dft'.
1
Сравнивая это выражение с (3.29) с учетом (3.19), можно принять за решение (3.29) функцию
00 >
е'(т, ft) = j е(т, k')A{k, k')dk' — fte(x, ft). (3.30)
1
Применим к (3.30) преобразование Лапласа: . _
sL{e(x', ft)} — se(0, ft) =
eo
= Ji4(ft, ft') L{e (t', k')}dk' —ftL{e(x', ft)} i
или в введенных нами обозначениях
С учетом (3.26) последнее соотношение можно переписать в виде (s+k)R(s, ?) = е(0, к)в(0, s) или
tf(s, k) = .е(°> .?)g(°> .kX . (3.31)
s + k
Подставляя (3.31) в (3.26) или (3.26а), находим уравнение, определяющее функцию е(0, k):
OO
е (0, k) = 1 + е(0, к) Г - -g^0; ds (3.32)
2 . J s (s 4- k) і
или
8 (0, $)=1-(- — е(0, S) Г е(-- ’ dk. (3.32а)
2 J k(s + k)
і
При s =¦— и k = —е (о, —^ ян ф(|х) — известная IL \L' \ \l J
функция Амбарцумяна, определяемая уравнением
і
ф(р.) = і + L цф (ц) Г Ф'- (з-зз)
2 J |i + |i
о
Остается теперь определить величину е(0). Для этого обратимся к выражению для средней интенсивности выходящего из слоя излучения:
і j т = /(0> ^=е(о). t
7 О
С другой стороны,
Поэтому
I Ф (|л) = 2. (3.34)
о
Это дает возможность записать уравнение (3.33) в несколько другом виде:
