Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что величина R является оптической характеристикой исследуемой среды, определяющей коэффициент отражения слоя бесконечно большой оптической толщины.
Глава З
ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Проблема Милна
Запишем уравнение переноса излучения (1.46) для плоской среды. Плоскопараллельный слой — простейшая геометрия исследуемой среды — служит хорошей моделью реальных объектов. Задачи распространения излучения для плоской среды сильно упрощаются, и именно этот случай в настоящее время наиболее подробно изучен.
Для плоской среды оптические характеристики (коэффициенты поглощения и рассеяния, индикатриса рассеяния на элементарном объеме) являются функциями от одной координаты, выбираемой обычно в направлении нормали к поверхности слоя (рис. 6). Так как
, dx dx (* .
dr = ------=------- и т= 1 а (х) dx,
cos 0 ц J
о
то для сферической индикатрисы рассеяния вместо уравнения (1.46) имеем
і
]1 d/(T’ ^ +Kr, (х) = — [ / (X, I*') dll' н- Є0 (т). (3.1)
dx -2 J
—і
Граничные условия (1.47) для нашего случая запишутся в виде
^ (0, (х) Ifliig = Z01^1 ((х), I (т0, (X) Ifitcg = ^оа/2 (|х), (3.2)
х,
где т0 = [ a (X) dx — оптическая толщина всего слоя,
о
Условия (3.2) означают, что на граничную поверхность х = 0 слева, в направлении оси х, падает внешнее излуче-
55
Рис. 6. К выводу уравнения переноса излучения для плоской среды
ние интенсивности I01 с угловым распределением А ((і), а справа на поверхность х = х0 — излучение интенсивности I02 с угловым распределением f2 (и)- Условия (3.2) можно учесть непосредственно в уравнении (3.1). Для этого достаточно определить величину интенсивности внешнего излучения, приходящего в заданную точку слоя:
I _ _т_. 1 -JL
eI (T) = у J Im (ц) е дф = Y7Oi j'Mn) Є llCln +
-1 о
О _ T1-T
+ у I02 j" h (м) е Д d(i. (3.3)
-і
Если индикатриса рассеяния на элементарном объеме не сферическая, то ее выражение необходимо внести под знак интеграла. При падении внешнего излучения на исследуемую среду под вполне определенным углом (0ВН = Oot = = arccosfi0i, i=l, 2) можно принять /,(|х) = 6(ц,— ц01) (6 — функция Дирака) и соотношение (3.3) переписать в виде
X JL - —
Єї (T) = -g-V д" + Y1^e *°г- (3-3а)
Если теперь функцию R1 (т) внесем в правую часть уравнения (3.1), то в этом случае необходимо пользоваться следующими граничными условиями:
1 (°> п) 1д>о = °> 1 (т0. Iа) 1д<0 = °. (3.4)
которые выражают тот факт, что извне на исследуемую среду не может падать рассеянное излучение (естествен-
56
іґо, при этом предполагается, что отражение от граничных поверхностей слоя не учитывается).
Введем функцию источников:
і
: (т) = у J I (т, ц') d\i' + е0 (т) -f B1 (т), —1
(3.5)
где первый член учитывает рассеянное в среде излучение, второй — собственное излучение среды, а третий—излучение, обусловленное внешними источниками, и формально решим уравнение (3.1) при граничных условиях (3.4):
Ц ^ +'/ (т, Ji) = в (т), dx
(3.6)
I (г, Ц) =
Pt
— Ax'
) е д ------------ при ц > О,
T-T'
і . /. д dx' Л
— \ Є (T ) Є -------------- При fi < 0.
(3.7)
Подставляя (3.7) в выражение (3.5), находим интегральное уравнение для функции источников:
т 1 _ T-T'
д d\і
0 _ T-T'
и d\і
+ е0 (T) + R1 (T) =
е(т) = A-jj* е (т') dr' J
Т, 0
-Je (т') dx’ J
T —і
= “(j* E1(X-X1)R(Xt) dr' + JfI (т' —T)e(T')dT'J +
о т
+ е0 (T) + R1 (X),
«о
¦ Г е~Х5
где En (х) = I —— ds (п = 0, 1, 2, ...) — интегрально-по-
i
57
казате-льная функция, свойства которой приведены в конце данного параграфа.
Полученное уравнение для функции источников можно записать в более удобном виде:
т.
Є (T) = Y j* E1 (|т — т'|) е (-T') dx' + B1 (T) + е0 (т). (3.8) о
Уравнение переноса излучения в интегральной форме было впервые получено Милном [1] применительно к переносу излучения через атмосферу звезды. При этом Милном сделаны предположения об отсутствии в атмосфере источников и стоков энергии и ее стационарном состоянии. Граничные условия полагались в виде
;(°> ^Uo = 0* (3.9)
а второе условие заключается в задании некоторого потока Я. Таким образом, при е0 = R1 = 0, т0-»- оо и 1=1 (чистое рассеяние) из (3.8) получаем известное уравнение Милна:
«о
е(T) = ~ j*E1 (|т — т'|)е(T)dx'.
(3.10)
о
Часто уравнение Милна записывают в виде
е (т) = Л {е (т')} (3.11)
и интегральный оператор Л называют первым оператором Милна.
Для проблемы Милна вместо (3.10) можно использовать интегральное уравнение для потока энергии, определяемого соотношением (1.7):
2Я і
j dtp j /(т, (і) \id\i = Я.
о -і
Для удобства введем новую величину: P = —Я/л > 0. Подставляя сюда соотношение для интенсивности излучения по (3.7), в случае к = 1 и т0-»-оо находим:
I T _ Т—т' 0- OO _ T-T'
2 f d[i f е(х')е “ dx — 2 f d\i J е (т') е * dx' = P (-)о b МЛ"1 т
58
ИЛИ .»i-
OQ t
P = 2 j Е2(г'—х)г (t') dx' — 2 j E2 (x— x') e (т*>ф' =
