Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
nI (^iIuVi 4" ^is) = пг (^41 4" Дгіиії Ч" C21). (2.9)
С помощью соотношений (2.5) уравнение (2.9) можно преобразовать следующим образом:
Jh_
Th
или
(A21 + C21) —
2*v?2
gi
1
O1
Jl
gt
Jl
gl
1_
«*
Bi '1I _____ J
-Ь C2
Cit
W12 +
Jl
gi
'12
1
th gl
^21
'21
С учетом выражений для U12 и S12 последнее соотношение определяет искомую связь функции источников с интенсивностью излучения:
27
+ (I -X)S?2.
(2.10)
Здесь величина
X=------
(2.11)
характеризует квантовый выход (или вероятность выживания кванта) при элементарном акте взаимодействия излучения с веществом, а функция
определяет роль процессов столкновения при испускании излучения элементарным объемом вещества.
Выражение, в физическом смысле аналогичное (2.10), для колебательно-вращательной полосы приведено в монографии Гуди [10]:
где Xv и т—время релаксации колебательных степеней свободы и время жизни возбужденного состояния соответственно; п — количество молекул; kn, v — коэффициент поглощения молекул, рассчитанный на единичный частотный интервал.
Таким образом, уравнение переноса излучения можно записать в следующем виде:
Si
(2.12)
(2.13)
d/v(r’ ')--------«i.(v)/(r. I) 4-
dr
+ —fr(v)-------- f kn(v)dv Г /v(r, l')dG' +
4л J klt (v) dv о (4л)
O
+ (I-X)X14(V)Sj2. (2.14)
В случае, когда вероятность столкновений намного больше вероятности спонтанного испускания (C41 > Ail, т. е. X -*¦ 0), то, учитывая, что в данном случае
/IV,, hvIi
«1 = —пге кТ~ и C12 = с„е ,
Sa ffi
приходим к уравнению переноса излучения при условии локального термодинамического равновесия:
dI^ - - = - X11 (V) Iv (г, I) + X14 (V) Ivp (T), (2.14а)
где Ivp (T) — интенсивность планковской радиации.
Если заселенность энергетических уровней обусловлена только фотовозбуждеииями, то приходим к уравнению переноса, учитывающему многократные акты пере-испускания и обычно используемому в астрофизических задачах:
dl у (г, 1) / \ і t і \ і
----------= — xia (v) I Ar, От
dr
+ ------------------- Г ^lt(V)dv Г Iv{r, l')dQ'. (2.146)
4я |* ^14 (v) dv о (4л)
о
Последнее уравнение можно получить из чисто феноменологических соображений и в более общем виде, учитывающем наличие произвольного закона перераспределения излучения по частотам при элементарном акте взаимодействия последнего с веществом. Причинами, вызывающими"перераспределение излучения по ча-
29
стотам, обычно могут быть эффект соударения атомов и молекул, эффект Допплера и т. п. Для учета перераспределения по частотам можно ввести некоторую функцию W(v, v'), характеризующую вероятность того, что после поглощения излучения частоты v' элементарным объемом испускается излучение в частотном интервале (v, v+dv). Тогда функцию источников можно представить в виде [12]:
«А = J W (V, V') CTv- dv' j* /„¦ , (2.15)
О (Ія)
причем
OB
[ lP(v, v')dv=l. (2.16)
о
Величина W (v, v')oy = Q(v, v') представляет собой коэффициент рассеяния квантов частоты v' с учетом преобразования частоты при взаимодействии излучения с элементарным объемом вещества. В силу нормировки (2.16)
J Q (v,v')dv=<v. (2.17)
о
В силу теоремы оптической взаимности функция Q (v, v') симметрична относительно переменных [12]:
Q(v,v') = Q(v\ v). (2.18)
Конкретный вид самой функции W (v, v') для реальных случаев довольно сложен. Так, при учете явления Допплера функцию W (v, v') можно записать в следующем виде [11]:
W (v, V') =------1----- Г е-Ш+V I arctg У-^- +
V > nWU(a,0)J \ а
О
4- arctg ——- j dy, (2.19)
, |v—v'i v + v' V V
S = 2?
отношение естественной ширины линии • к допплеровской, а
30
W*)-Jr (^0)
так называемая функция Фойгта.
Использование функции перераспределения типа
(2.19) значительно усложняет решение уравнения переноса. Поэтому на практике обычно пользуются приближенными функциями W(v, v'), HO эти функции должны описывать основные закономерности процесса перераспределения излучения по частотам. Наиболее удачным . приближением в настоящее время является приближение, предложенное Дж. Хаутгастом [13] и др. Оно заключается в том, что вероятность рассеяния кванта с частотой V не зависит от частоты поглощенного кванта v', т. е. испускаемый квант полностью «забывает» историю собственного поглощения. Это приближение носит название полного перераспределения по частотам. Ряд экспериментов (например, [14], [15]) подтвердил его справедливость.
РУ При полном перераспределении излучения по частотам функцию Q (v, v') можно представить в виде
Q (v, V') = W (v, V') OV = W (v) (V. (2.21)
Из свойства (2.18) следует, что
W (v') ctv = W (v) oV' или W (v) = Cav.
Постоянную С можно определить из условия нормировки (2.16):
jV(v)dv =
1 и C =-----------------------
о
Отсюда в приближении полного перераспределения излучения по частотам функция источников имеет вид
«А =---------Ь--------\ <V<*v' \ Iv-dQ’,
Г Ctv' dv'
4я J оVdv о (4я)
