Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
I--IN40*-, -L._i-±fJS!24L-
2 J ф(|!) 2 J ц + ц'
О о
2 J V + V
о
или
I
о
По (1,7) находим: і
-і Г-ШгМ?Іф' = і. (3.35) 2 J - Ц+|і'
I 7(0, ц)М(А = Y =8(0) |:ф(ц)|и*|і. о о
Выражение для первого момента функции ф (|х) нетрудно найти из (3.35). Действительно, умножая (3.35) на ц,2 и интегрируя по [і от 0 до 1, получаем:
JW-I-f Jf
О 0 0
B_L f f.TteWjaC-арф-.
2 J J Р+Ї
о о
т. е.
I 1
2
= у J* j* Ф (Ц) Ф (К) W*'d|id|i'.
3
о о
71
Отсюда
і
<р (и) \id\i = у=.
о
Тогда
1
J
JLp = -Z=B(O) или B(O) = J^J-P. (3.36)
Таким образом, интенсивность излучения, выходящего из полубесконечного слоя, равна
ДО. И) =
Следует заметить, что функция
» т
R(s, k) = k)=\il(0, [і, H0)= J е(т, [і0)е ^dx
о
имеет также определенный физический смысл. Эта величина определяется только функциями Амбарцумяна:
= _е(0. = <рМ<рЫ
s + k и + Ho
и определяет интенсивность излучения, выходящего из полубесконечного слоя, при падении на него излучения в направлении 0о = агс cos Ho-
В заключение покажем, что решения уравнений
(3.18) и (3.19) действительно носят общий характер.
Выберем для общности решение уравнения (3.21) в виде
OD
е' (т) = J Л (k) е (т, k)dkA-f (т).
і
Подставляя это выражение в уравнение (3.18), получаем
/(T) = AtfCO),
т. е. выбранная функция /(т) должна удовлетворять первому интегральному уравнению Милна. Отсюда следует,
:72
что /(т) от решения должна отличаться лишь некоторой константой: /(т)=С-е(т).
Тогда, согласно (3.18), при применении преобразования Лапласа имеем:
Так как функция R(s, k) симметрична относительно аргументов, то это также должно вести к C=O. Таким образом, выбираемые решения для уравнений (3.18) и
(3.19) действительно носят общий характер.
§'3. Принцип инвариантности Амбарцумяна
Формула для определения интенсивности выходящего из полубесконечного слоя излучения и интегральное уравнение для функции ср(ц) были получены Амбарцумяном [32] из чисто физических соображений. В основу
о
= е (0) е (0, s).
Полагая s = — , находим: (1 — ц.С) I (0, ц.) = е(0) ср (|л). Так как
о
о
то
2е(0)-------- CP = е(0)-2,
2
что ведет к С = 0.
Для уравнения (3.29) получаем аналогично:
(s + k)R(s, k) = е(0, k) е(0, s) + — С-Ъ (s).
S
своих рассуждений Амбарцумяном был положен следующий принцип инвариантности*): отражательная способность по-лубесконечной среды не изменяется при добавлении к ней слоя бесконечно малой оптической толщины.
Рассмотрим, какие процессы взаимодействия излучения с веществом возникают в среде при добавлении к ней слоя толщины dr. Для простоты остановимся сначала на одномерном случае. Пусть на среду с отражательной способностью Го падает излучение интенсивности /о- Среда характеризуется некоторой вероятностью выживания кванта X и долей рассеяния назад р. При рассмотрении возможных процессов будем пренебрегать величинами второго и выше порядков малости. Для удобства рассмотрения на рис. 8 направления внешнего и наблюдаемого излучений разнесены в пространстве. За закон ослабления излучения дополнительным слоем в первом приближении можно принять
I = I0{\—dr).
С точностью до величин второго порядка малости добавление элементарного слоя приводит к появлению следующих процессов:
1) внешнее излучеиие после ослабления в слое dx может отразиться от поверхности т = 0 и выйти из среды:
Л = А» (1—Л)г0(1 —dt);
2) рассеяние в слое dr.
U = АЛР*;
*> Иногда этот принцип неудачно называют «принципом сложения слоев».
' 4 \ \ і Ь- '/ //,
IN S
- \' "
У//',
Л х X <ГГ\\ \ \ '///.'у'
N ч , S . ,
\ -N \ \\\\ 'а~ //
Рис. 8. К принципу инвариантности Амбарцумяна
74
3) рассеянное вперед излучение может отразиться от поверхности т = 0:
I3 = /0МI — P)dx-r0(l —dx);
4) ослабленное слоем dr внешнее излучение может отразиться от поверхности T=O и испытать рассеяние вперед:
U = M1 —di)rQX{\ — P )dt;
5) после отражения от поверхности т=0 излучение испытывает рассеяние назад и это рассеянное излучение виовь отражается от поверхности т=0 и выходит из среды:
7ь = 1O (1 — dx)го • Wdx¦го (1 — dx)¦
Согласно принципу инвариантности,
Б
7отр = r0I0 = 2 7І>
(=1
т. е.
Vo = Vo (1 — 2dx) + 7OPkfr+2 Vo (1 — Р) ^t+Vo^PdT.
Отсюда находим соотношение для отражательной способности полубесконечного слоя:
Рассмотрим процессы отражения и рассеяния, возникающие при добавлении слоя dx к плоскому слою бесконечной оптической толщины. Обозначая отражательную способность плоской полубесконечной среды через р (|Х, ц,0) (0О^arccos [X0 определяет направление внешнего излучения, a 0=arccos[x— направление выходящего излучения, см. рис. 8), аналогично можно найти величину интенсивности излучения, возникающего за счет слоя dx:
I (0, |х, (X0) = /0ц0р ([х, JX0)= 2 7г (З.Э7)
Здесь
7I = Vo ^ 1 — ~ ) р (М-. J1O) ^ 1 — ) =
^ VoP (М-. ^o) — 7оР (М-. М-о)dx — 7о — P (М- М-о) dx'> '
M-
75
о
